Тема 1. Парная линейная регрессия

1. Рассчитайте оценки параметров парной линейной регрессии, где у – расходы на покупку продовольственных товаров, % к общему объему расходов, а х – среднемесячная заработная плата 1 работника, тыс. руб.

Параметры а и b линейной регрессии рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитаем .

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее методом определителей: определитель системы ∆ равен:

,

,

,

Получаем уравнение регрессии: .

Этот же результат можно получить, используя следующие формулы для нахождения параметров:

, ,

где - дисперсия по факторному признаку.

Таблица 1. – Расчетные данные

Номер региона	х	у	ху				у-
	4,5	68,8	309,6	20,25	4733,44	67,1	1,7	2,97	121,629	86,583	2,84	2,47
	5,9	58,3	343,97	34,81	3398,89	59,3	-1,0	1,10	0,279	2,487	0,08	1,72
	5,7	62,6	356,82	32,49	3918,76	60,4	2,2	4,61	23,315	7,189	0,24	0,51
	7,2	52,1	375,12	51,84	2714,41	52,2	-0,1	0,01	32,165	31,346	1,03	0,19
	6,2	54,5	337,9	38,44	2970,25	57,7	-3,2	10,19	10,702	0,006	0,00	5,87
		57,1	342,6		3260,41	58,8	-1,7	2,88	0,451	1,051	0,03	2,98
	7,8		397,8	60,84	2601,00	48,9	2,1	4,58	45,852	79,399	2,61	4,12
Сумма	43,3	404,4	2463,81	274,67	23597,16	404,4		26,33	234,39	208,06	6,83	20,86
Среднее значение	6,186	57,77	351,97	39,24	3371,02	-	-	-	-	-	-	-

Однако, оперируя средними величинами, мы можем столкнуться с ошибками округления. Действительно, . Соответственно не совпадает и величина параметра , т.е.

При решении с помощью компьютера уравнение регрессии составило: .

Величина коэффициента регрессии означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 5.5 % - х пункта.

1. Оцените тесноту связи между признаками.

Линейное уравнение регрессии дополняется расчетом линейного коэффициента корреляции:

или .

Так как то , что означает тесную обратную связь рассматриваемых признаков.

2. Рассчитайте коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации составит: , т.е. вариация у на 88,8 % объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 11,2 %.

3. Проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α=0,05.

Оценку статистической значимости коэффициента регрессии проведем с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы:

Н₀ – коэффициент регрессии является статистически незначимым, т.е. b=0;

Н₁ – коэффициент регрессии статистически значим, т.е. b≠0.

Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии m_b:

.

Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента:

.

Фактическое значение t – критерии превосходит табличное значение на 5 %-м уровне значимости при числе степеней свободы =5: t_табл = 2,57. Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. b отличается от нуля не случайно и коэффициент регрессии является статистически значимым.

4. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента регрессии, для чего определим предельную ошибку для параметра b.

.

Доверительные интервалы: , т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% коэффициент регрессии, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значение, т.е. не является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.

5. Составить таблицу дисперсионного анализа.

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице 2.

Таблица 2. – Таблица дисперсионного анализа

Вариация результата	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F - критерий
факт.	табл.
Общая		234,39
Факторная		208,06	208,06	39,5	6,61
Остаточная		26,33	5,27

6. Оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии.

В силу того, что F_факт=39,5> F_табл=6,61, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость расходов на покупку продовольственных товаров от среднемесячной заработной платы.

8. Рассчитайте, каковы будут расходы на покупку продовольственных товаров, если среднемесячная заработная плата составит 8 тыс. руб.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение среднемесячной заработной платы х=8, то точечный прогноз расходов составит: % - х пункта.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значения расходов .

;

где - стандартная ошибка регрессии.

Предельная ошибка прогнозируемого расхода составит:

.

Доверительный интервал прогнозируемого расхода составит:

,

т.е. при среднемесячной заработной плате, равной 8 тыс. руб., расходы на покупку продовольственных товаров составят не меньше чем

% - х пункта

и не больше чем

% - х пункта.

9. Рассчитайте средний коэффициент эластичности.

Средний коэффициент эластичности для линейной регрессии рассчитывается по формуле:

.

Таким образом, получаем, что с ростом среднемесячной заработной платы на 1 % расходы на покупку продовольственных товаров снижаются на 4,14 %.

10. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

,

(см. последнюю графу расчетной таблицы 1).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 2,98 %.