ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Задания на практическую работу

Все задания на практические работы составлены в 30 вариантах. Вариант практической работы соответствует номеру студента по списку в журнале.

Таблица вариантов практической работы

№ варианта	Номера задач	№ варианта	Номера задач
	1,7,13,19,25		3,8,13,21,28
	2,8,14,20,26		2,7,13,20,26
	3,9,15,21,27		1,12,13,24,25
	4,10,16,22,28		2,11,14,23,26
	5,11,17,23,29		3,10,15,22,27
	6,12,18,24,30		4,9,16,21,28
	1,8,15,22,29		5,8,17,20,29
	2,9,16,23,30		6,7,18,19,30
	3,10,17,24,29		1,11,15,21,29
	4,11,18,22,30		2,10,16,20,30
	5,12,15,23,29		3,9,17,19,26
	6,8,16,24,30		4,8,18,21,28
	6,11,16,21,26		5,7,15,20,27
	5,10,15,20,25		6,8,16,22,25
	4,9,14,19,27		1,7,17,21,29

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

Тема:Вычисление производных сложных функций.

Цель работы:Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задание: Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные элементарных функций:

1.	а) ; б) ; в) .	4.	а) ; б) ; в) .
2.	а) ; б) ; в) .	5.	а) ; б) ; в) .
3.	а) ; б) ; в) .	6.	а) ; б) ; в) .

Задание: Вычислить производную сложной функции:

7.	;	10.	;
8.	;	11.	;
9.	;	12.	;

Задание: Вычислите производную сложной функций:

13.	;	16.	;
14.	;	17.	;
15.	;	18.	;

Задание: Вычислите производную сложной функции:

19.	;	22.	;
20.	;	23.	;
21.	;	24.	;

Задание: Найдите угол, который образует с положительным лучом оси абсцисс касательная к графику функции:

25.	в точке .	28.	в точке .
26.	в точке .	29.	у = в точке х = 0.
27.	в точке .	30.	у = в точке х = 7.

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Правило вычисления сложной функции.

Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение производной функции.

2. Дайте определение сложной функции.

3. Напишите основные формулы дифференцирования.

4. Запишите правило нахождения производной сложной функции.

5. В чем заключается геометрический и механический смысл производной.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Тема:Вычисление простейших определенных интегралов.

Цель работы:Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задание: Вычислить определенный интеграл

1.		4.
2.		5.
3.		6.

Задание: Вычислить определенный интеграл:

7.		10.
8.		11.
9.		12.

Задание: Вычислить определенный интеграл методом непосредственного интегрирования:

13.		16.
14.		17.
15.		18.

Задание: Вычислить интеграл способом подстановки (замены переменной):

19.		22.	3 dx
20.		23.
21.		24.

Задание: Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:

25.		28.
26.		29.
27.		30.

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Интегрирование произведения (функции) на постоянную:

Интегрирование суммы функций:

Формула интегрирования по частям неопределенные интегралы:

Формула интегрирования по частям определенные интегралы:

Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы:

Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

4. Запишите геометрический смысл определенного интеграла.

5. Запишите основные формулы интегрирования.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Тема:Расчет сопряжений с применением производной в инженерной графике.

Цель работы:Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».

Задание: Решить задачу на физический смысл производной:

1.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 9 с.	4.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, изме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с?
2.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни с.	5.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся прямо­ли­ней­но по закону (где x —рас­сто­я­ние от точки отсче­та в метрах, t — время в секун­дах, измерен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в момент вре­ме­ни t = 3 с.
3.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся прямолиней­но по закону (где x — рассто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла движе­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 6 с.	6.	Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по закону (где x — рас­сто­я­ние от точки отсче­та в мет­рах, t — время в секун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/с) в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с.

Задание: Решить задачу на геометрический смысл производной:

7.	Пря­мая па­рал­лель­на касательной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.	10.	Пря­мая яв­ля­ет­ся касатель­ной к гра­фи­ку функции . Най­ди­те .
8.	Пря­мая яв­ля­ет­ся касательной к гра­фи­ку функции . Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.	11.	Пря­мая яв­ля­ет­ся каса­тель­ной к гра­фи­ку функции . Найдите , учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.
9.	Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те b, учи­ты­вая, что абс­цис­са точки ка­са­ния боль­ше 0.	12.	Пря­мая яв­ля­ет­ся касатель­ной к гра­фи­ку функции . Най­ди­те .

Задание: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции:

13.	у = 6х- в его точке с абсциссой равной -1.	16.	в его точке с абсциссой равной 4.
14.	у = 4-х2 в его точке с абсциссой равной -6.	17.	f(x)=(x−6)(x2+6x+36) в его точке с абсциссой равной 1.
15.	у = - в его точке с абсциссой равной -2.	18.	его точке с абсциссой равной 3.

Задание: На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.:

19.		22.
20.		23.
21.		24.

Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:

25.	f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2]	28.	f (x) = 9 – 6x2 – x3 [– 4; 2];
26.	y = 9x + 3x2 – x3 ; [– 2; 2]	29.	y = 4 – 9х + 3x2 + x3 [– 2; 2]
27.	y = 5 + x4 – 8x [– 3 ; 2]	30.	f(х) =2х3 + 3х2 – 36х [– 4; 3]

Пояснения к работе:

Необходимые формулы:

Геометрический смысл производной:

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀ :

Физический смысл производной:

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1.Находим ОДЗ функции.

2. Находим производную функции

3. Приравниваем производную к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: Если на промежутке производная функции >0, то функция возрастает на этом промежутке. Если на промежутке производная функции <0, то функция убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции. В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-". В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка, затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции.

Содержание отчета

1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.

2. Цель работы

3. Задание

4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием

5. Ответы на контрольные вопросы

6. Вывод

Контрольные вопросы:

1. Запишите алгоритм исследования графика функции.

2. Дайте определение касательной к графику функции.

3. Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

4. Запишите алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.

5. Запишите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [a; в].