Виды нелинейной регрессии. Оценка параметров модели

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций, например равносторонней гиперболы: ; параболы второй степени: и др.

Различают два класса нелинейных регрессий:

· относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

· по оцениваемым параметрам.

Рассмотрим нелинейные регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам.

Данный класс нелинейных регрессий включает уравнения, в которых у линейно связан с параметрами. Примером могут служить следующие функции.

1. Полиномы разных степеней. Например, полином k-й степени .

2. Равносторонняя гипербола – .

При оценке параметров регрессий нелинейных по объясняющим переменным используется подход, именуемый "замена переменных". Суть его состоит в замене "нелинейных" объясняющих переменных новыми "линейными" переменными и сведение нелинейной регрессии к линейной. К новой "преобразованной" регрессии может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК).

Рассмотрим применение данного подхода к параболе второй степени: . Заменяя переменную х² на z, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: , для оценки параметров которого используется обычный МНК.

Среди нелинейной полиноминальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях - полином третьего порядка. Ограничение в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю гиперболу: . Она может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции.

Для оценки параметров равносторонней гиперболы используется тот же подход "замены переменных": заменив 1/х на z, получим линейное уравнение регрессии: , для которого может быть применен обычный МНК.

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам. К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых у нелинейно связан с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:

· степенная – ;

· показательная – ;

· экспоненциальная – .

Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа:

1) нелинейные модели внутренне линейные;

2) нелинейные модели внутренне нелинейные.

Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.

Примером нелинейной по параметрам регрессии внутренне линейной является степенная функция, которая широко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен:

где у – спрашиваемое количество;

х – цена;

e – случайная составляющая.

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, так как включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду: . Заменив переменные и параметры, получим линейную регрессию, оценки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.

В рассматриваемой выше степенной функции предполагалось, что случайная составляющая u мультипликативно связана с объясняющей переменной х. Если же модель представить в виде , то она становится внутренне нелинейной, т. к. ее невозможно преобразовать к линейному виду.

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода.

Применение МНК для оценки параметров нелинейных моделей внутренне линейных. В моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, МНК применяется к преобразованным уравнениям. В таких моделях преобразованию подвергается результативный признак у, в отличие от нелинейных моделей 1-го типа, где результативный признак у остается неизменным, а преобразуется факторный признак.

Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. , . Это значит, что оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений логарифмов:

. (23)

Соответственно, если в линейных моделях и моделях, нелинейных по переменным, , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, , а . Вследствие этого оценка параметров с помощью МНК для нелинейных моделей, внутренне линейных, оказывается несколько смещенной.

В отдельных случаях может использоваться так называемая обратная функция: , являющаяся разновидностью гиперболы. Но если в равносторонней гиперболе , преобразованию подвергается объясняющая переменная и , то для получения линейной формы зависимости в обратной модели преобразовывается у: . Тогда модель обратной зависимости принимает вид: .

Обратная модель является внутренне линейной по параметрам. Требование МНК при этом выполняется для обратных значений результативного признака – , а именно: .

Поскольку уравнение обратной функции линейно относительно величин , то, если обратные значения имеют экономический смысл, коэффициент регрессии интерпретируется так же, как в линейном уравнении регрессии. Если, например, под у подразумеваются затраты на рубль продукции, а под х – производительность труда (выработка продукции на одного работника), то обратная величина характеризует затратоотдачу, и параметр b имеет экономическое содержание – средний прирост продукции в стоимостном измерении на 1 руб. затрат с ростом производительности труда на единицу своего измерения.

1.3. Коэффициент эластичности как
характеристика силы связи фактора с результатом

Коэффициент эластичности представляет собой показатель силы связи фактора x с результатом у, показывающий, на сколько процентов изменится значение у при изменении значения фактора на 1 %. Коэффициент эластичности (Э) рассчитывается как относительное изменение у на единицу относительного изменения x:

. (24)

Различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

Обобщающий коэффициент эластичности рассчитывается для среднего значения : и показывает, на сколько процентов изменится у относительно своего среднего уровня при росте х на 1 % относительно своего среднего уровня.

Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения х = х₀: и показывает, на сколько процентов изменится у относительно уровня у(х₀) при увеличении х на 1% от уровня х₀.

В зависимости от вида зависимости между х и у формулы расчета коэффициентов эластичности будут меняться. Основные формулы приведены в табл. 2.

Таблица 2

Вид функции	Точечный коэффициент эластичности	Средний коэффициент эластичности
Линейная
Парабола
Равносторонняя гипербола
Степенная
Показательная
Полулогарифмическая у = a + b ∙ lnx

Только для степенных функций коэффициент эластичности представляет собой постоянную независящую от х величину (равную в данном случае параметру b). Именно поэтому степенные функции широко используются в эконометрических исследованиях. Параметр b в таких функциях имеет четкую экономическую интерпретацию – он показывает процентное изменение результата при увеличении фактора на 1 %. Так, если зависимость спроса у от цен p характеризуется уравнением вида: , то, следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,5 %.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, бессмысленно определять, на сколько процентов изменится заработная плата с ростом возраста рабочего на 1%. В такой ситуации степенная функция, даже если она оказывается наилучшей по формальным соображениям (исходя из наибольшего значения R²), не может быть экономически интерпретирована.