Точность коэффициентов регрессии. Доверительные интервалы

Оценки коэффициентов регрессии зависят от используемой выборки зна-чений переменных x и y и являются случайными величинами. Для характери-стики точности полученных оценок можно использовать стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Под стандартной ошибкой коэффициента регрессии понимается оценка стан-дартного отклонения функции плотности вероятности данного коэффициента.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии s_bi определяются соотно-шениями

sbi

ii

,

(3.29)

sост(X X )

где s2ост представляет собой несмещенную оценку остаточной дисперсии

n

sост2

( yˆiyi )

;

i 1

n p 1

.

( X X )

диагональный элемент матрицы (X X)

ii

можно вычислить как

Величину (X X)

ii

Aii

( X X )

,

ii

det(X X )

где A_ii алгебраическое дополнение к элементу ii матрицы (X X) .

Сопоставляя оценки параметров и их стандартные ошибки, можно сделать вывод о надежности (точности) полученных оценок.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии приме-няется t-критерий Стьюдента, основанный на том факте, что отношения

	~
tb	bi bi	(i 1, 2,..., p)	(3.30)
sbi
i

являются t-статистиками, т. е. случайными величинами, распределенными по

~

закону Стьюдента с числом степеней свободы n p1. Через b_i обозначены точ-

ные значения коэффициентов регрессии.

Согласно t-критерию Стьюдента, выдвигается «нулевая» гипотеза H₀ о ста-тистической незначимости коэффициента уравнения регрессии (т. е. о стати-стически незначимом отличии величины а или b_i от нуля). Эта гипотеза отвер-гается при выполнении условия t>t_крит, где t_крит определяется по таблицам

t-критерия Стьюдента(П2)по числу степеней свободы k₁= n p 1 (p числонезависимых переменных в уравнении регрессии) и заданному уровню значи-мости α.

t-критерий Стьюдента применяется в процедуре принятия решения о целе-сообразности включения фактора в модель. Если коэффициент при факторе в уравнении регрессии оказывается незначимым, то включать данный фактор в модель не рекомендуется. Отметим, что это правило не является абсолютным и бывают ситуации, когда включение в модель статистически незначимого фак-тора определяется экономической целесообразностью.

yˆxi p

Доверительные интервалы для параметров b_i уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:

bi t1α, np1· sbi	~	bi	+ t1α, np1 · sbi.	(3.31)
bi

Величина t_1α,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стью-дента на уровне значимости α при степени свободы n–2.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя гра-ница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр прини-мается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положи-тельное, и отрицательное значения.

Точность полученного уравнения регрессии можно оценить, анализируя доверительный интервал для функции регрессии, т. е. для среднего значения ỹ₀, зависимой переменной y при заданных значениях объясняющих переменных

x₁= x₁₀, x₂= x₂₀, ..., x_p= x_p0.,

Доверительный интервал для функции регрессии определяется соотноше-ниями

ŷ0t1α, np1·sŷ ỹ0 ŷ0+t1α, np1sŷ,

(3.32)

где ŷ₀– групповая средняя, определяемая по уравнению регрессии (3.4) при за-

данных значениях объясняющих переменных	x1= x10, x2= x20, ..., xp= xp0;
			(3.33)
syˆsîñòX 0	(X X ) X0 – ее стандартная ошибка;
ỹ0–точное значение групповой средней;X0	– вектор, составленный из задан-
ных значений независимых переменных X0	= (1, x10,	x20, ..., xp0).
Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой пере-
менной y*0 определяется соотношениями
ŷ0t1α, np1·sŷ0		y*0ŷ0+	t1α, np1 sŷ0,	(3.34)
где
syˆ	sîñò					(3.35)
X 0	(X X )X0

есть стандартная ошибка индивидуальных значений зависимой переменной y*₀.