Точность коэффициентов регрессии. Проверка значимости

Полученные согласно формулам (2.13) оценки коэффициентов регрессии зависят от используемой выборки значений переменных x и y и являются слу-чайными величинами. Представление о точности полученных оценок, о том на-сколько далеко они могут отклониться от истинных значений коэффициентов можно получить используя, так называемые «стандартные ошибки» коэффици-ентов регрессии.

Под стандартной ошибкой коэффициента регрессии понимается оценка стандартного отклонения функции плотности вероятности коэффициента.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии (s_a,s_b) определяются со-отношениями

n

sb

( yˆiyi )2 /(n 2)

s

s

i 1

ост

ост

,

(2.33)

n

(xix)2

x x

x n

i 1

n

n

n

n

( yˆiyi )2

xi2

xi2

xi2

i 1

i 1

i 1

i 1

sa

sост

sост

, (2.34)

n

n

n x

n (xix)

n x

i 1

где s²_ост представляет собой несмещенную оценку остаточной дисперсии

			n
sост2		( yˆi	yi)2	.	(2.35)
	i 1
		n 2
Сопоставляя оценки параметров и их стандартные ошибки можно сделать
вывод о надежности (точности) полученных оценок.
Отношения	a	~				~
ta	a	и	tb		b b	(2.36)
sb		sb

в случае нормально распределенной ошибки ε_i являются t-статистиками, т. е. случайными величинами, распределенными по закону Стьюдента с числом сте-

пеней свободы 2. Через ^~ и ^~ обозначены точные значения коэффициентов n a b

регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии приме-няется t-критерий Стьюдента, согласно которому выдвигается «нулевая» гипо-теза H₀ о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии (т. е. о статистически незначимом отличии величиныаилиbот нуля). Эта ги-потеза отвергается при выполнении условия t>t_крит, где t_крит определяется по таблицам t-критерия Стьюдента ( П2) по числу степеней свободы k₁=n k1 (k число независимых переменных в уравнении регрессии) и заданному уровню значимости α.

t-критерий Стьюдента может использоваться и для оценки статистическойзначимости выборочного коэффициента корреляции r_xy, так как величина

txy				rxy	,		(2.37)
			sr
				xy
где
				1 r2
srxy					xy		(2.38)
		n 2
					свободы n2. Через
распределена по закону Стьюдента с	числом степеней

s_rxyобозначена стандартная ошибка коэффициента корреляцииr_xy.

Проверка значимости оценок параметров ничего не говорит о том, на-сколько эти оценки могут отличаться от точных значений. Ответ на этот во-прос дает построение доверительных интервалов.

Под доверительным интервалом понимаются пределы, в которых лежит точное значение определяемого показателя с заданной вероятностью (P= 1 α).

Доверительные интервалы для параметров a и b уравнения линейной рег-рессии определяются соотношениями:

a t1α,n-2· sa; b t1α,n-2· sb.

(2.39)

Величина t_1α,n-2 представляет собой табличное значение t-критерия Стью-дента на уровне значимости α при числе степеней свободы n–2.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя гра-ница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр прини-мается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положи-тельное, и отрицательное значения.

Для статистически значимого коэффициента корреляции r_xy интервальные

оценки (доверительный интервал) получают с использованием Z-преобразования Фишера:

Z Z(r		)	1	ln	1 rxy	.	(2.40)
xy				1 rxy
Первоначально определяется интервальная оценка для z
z z	't1 / 2					,	(2.41)
		n 3

где t_1α/2– квантиль стандартного нормального распределения порядка 1–α/2,z' = Z (r_xy) –значение Z-преобразования Фишера,соответствующее полученно-му значению коэффициента корреляции r_xy.

Граничные значения доверительного интервала (r^–,r⁺) для r_xy получаются из граничных значений доверительного интервала (z^–,z⁺) для z с помощью об-

ратного Z-преобразования Фишера r_xyZ¹(z)

r Z 1(z ); r Z 1(z ).

(2.42)