Тема 2. Простейшие показательные уравнения и неравенства

Основные понятия и термины: показательные уравнения, показательные неравенства

Краткое изложение теоретических вопросов:

Пример 11000^x=100

Решение:

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: 2/3 .

Пример 23^х2-х-2=81

Решение:

3^х2-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2

Ответ: х=3 и х=-2

При решении показательных уравнений, главные правила-действия со степенями.

Пример 34^х+1+4^х=320

Решение:

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=3204^х∙5=320

Представим 320 в виде 5∙4³, тогда:4^х∙5=5∙4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4^х=4³

Приравняем показатели:х=3

Ответ: 3

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству .
Если 0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству

Пример 4Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 5 Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х< - 3

Ответ: .

Задания:

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-4;0) 2) [0;1) 3) [1;4) 4) [4;6)

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-5;-3) 2) [-3;0] 3) (2;4] 4) (0;2]

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-1;0] 2) (0;1] 3) (1;2] 4) (2;3]

4.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (4;0] 2) (0;1] 3) (1;3) 4) [3;6)

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1(1;2) 2) [2;5) 3) [-2;-1] 4) (-1;1]

6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-3;-1) 2) [-1;0) 3) [0;1) 4) [1;5]

7. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (5;6] 2) [-1;0) 3) [0;2] 4) (-5;-1)

8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-1;0) 2) [0;1) 3) [1;3) 4) [3;5]

Решить уравнение:

1.2^х + 2^{х + 1} = 6 2.5^{х + 1} + 5^х + 5^{х – 1} = 31 3.27^1-х =

4.5^3х = 25^{х + 0,5}5.8^х = 4^{ж – 1} 6.216^{3х + 1} =

7.49^{х + 1} = 8.2^3х = 9.13^х = 1

10. = 11. 4•3^{х + 2} + 5•3^{х +1} - 6•3^х = 5

12. 3^{х + 2} - 5•3^х = 36 12.7^{х + 2} - 14•7^х = 5

13. 2^{х + 4} – 2^х = 120 14. 2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7•2^х = 48

15. = 27^{х + 3}16.10•5^{х -1} + 5^{х + 1} = 7

17. 7^х - = 6 18. 4 ^{5х + 1 =}

19. 3^{х + 2} + 3^х = 810 20. 8^{2 + 3х} =

21. 81^{1 – 2х} = 27 ^{2 – х}22. 3^{х + 2} + 3^{х + 1} + 3^х = 39

23. 2^5х = 4 ^{2х + 1}

Раздел 5

Элементы математической статистики.

Тема 1. Основные понятия комбинаторики.

Основные понятия и термины: комбинаторика, элементы комбинаторики, перестановка, факториал, сочетания, размещения

Краткое изложение теоретических вопросов:

Комбинато́рика— раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов.

Число всех перестановок порядка n равно факториалу: P_n=n!

Факториа́лчисла n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

Задача.Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.

Задача.На танцплощадке собрались 7 юношей и 7 девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Ответ: 7!

Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

Задача. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

Решение. Перечислим все возможные варианты:

20 22 26

30 32 36

60 62 66

70 72 76

90 92 96

Используя правило умножения, получаем: 5х3=15

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания: ab, ac, bc.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают C_n^k. Оно равно

Задача. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

= 120 комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Задача.В группе обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно . По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.