В урне 15 шаров: 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара будут одного цвета
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Экзамен
По дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика
Билет №7
Выполнил:
Группа: ФКТ-23
Проверил: ___________________
Новосибирск, 2013г
Билет № 7
Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой .
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.
Надо заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.
В урне 15 шаров: 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что два наугад вынутых шара будут одного цвета.
Решение:
1) Вероятность того, что первый шар будет красным (событие А) равна:
Вероятность того, что второй шар также будет красным при условии, что первый шар красный (Событие B), равна:
Так как события зависимые, применима теорема умножения:
2) Вероятность того, что первый шар будет синим (событие С) равна:
Вероятность того, что второй шар также будет синим при условии, что первый шар синий (Событие D), равна:
Так как события зависимые, применима теорема умножения:
3) Так как события несовместны применима теорема сложения и вероятность того что два шара будут одного цвета, т.е. 2красных или 2 синих равна: