Средние показатели временного ряда

Для обобщения данных по временным рядам рассчитываются различного рода средние показатели: средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста.

Важной характеристикой временного ряда является средний уровень ряда. В интервальном временном ряду с равноотстоящими во времени уровнями расчёт среднего уровня ряда производится по формуле простой средней арифметической (здесь и далее суммирование ведётся по всем периодам наблюдения):

. (9.6)

По данным таблицы 9.5, средний за период объём произведённой продукции составит:

Если интервальный ряд имеет неравноотстоящие во времени уровни, то средний уровень ряда (т.н. средняя хронологическая) вычисляется по формуле взвешенной арифметической средней:

, (9.7)

где t – число периодов времени, в течение которых значение уровня y_t не изменяется.

Например, имеются данные об остатках средств на расчётном счёте предприятия (табл. 9.6). Определить средний остаток средств на расчётном счёте в январе.

Табл. 9.6. Динамика объема продукции по предприятию за 1995-1999 гг.

Календарный период	Остаток средств, тыс. руб. (yi)	Период действия уровня, дней (ti)	yiti
01.01-09.01
10.01-14.01
15.01-17.01
18.01-24.01
25.01-31.01
Итого	-

Исходя из данных таблицы 9.6, имеем:

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле:

, (9.8)

где n – число уровней ряда.

Например, если известны товарные остатки на 1-е полугодие каждого месяца (тыс. руб.):

1.01	1.02	1.03	1.04

Тогда средне месячные товарные остатки будут равны

Средняя хронологическая для моментного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

. (9.9)

Здесь n – число уровней ряда, а t₁ – период времени, отделяющий i-й уровень ряда от (i+1)-го уровня.

Например, известна списочная численность рабочих организации на некоторые дни 1998 г. (чел.):

1.01	1.03	1.04	1.09	1.01.1999

Тогда средняя годовая численность рабочих за 1998 г. составит

Кроме среднего уровня, при анализе и прогнозировании широко используются средние показатели изменения уровня ряда, а именно средний абсолютный прирост и средний темп роста.

Средний абсолютный прирост определяется как средняя арифметическая простая из цепных показателей из цепных приростов:

. (9.10)

Так как , средний абсолютный прирост можно определить следующим образом:

, (9.11)

где y_n – последний уровень временного ряда, y₀ – уровень, взятый за базу сравнения.

Применительно к данным табл. 9.5, имеем:

,

или, иначе,

,

т.е. ежегодно объём произведённой продукции возрастал на 7,5 тыс. ед.

Для обобщения характеристики интенсивности роста рассчитывается средний темп (коэффициент) роста по средней геометрической простой:

, (9.12)

где K₁, K₂,…,K_n – цепные коэффициенты роста.

Применим эту формулу к данным табл. 9.5:

.

Соответственно средний темп роста равен 125,5%.

Учитывая взаимосвязь цепных и базисных темпов рост, средний темп роста можно представить следующим образом:

. (9.13)

Для рассматриваемого примера

.

При определении средних уровней временного ряда нужно иметь в виду, что средняя будет достаточно надёжной характеристикой ряда, если она характеризует период с более или менее стабильными условиями развития. Если же за исследуемый период можно выделить этапы, в течение которых условия развития существенно менялись, то пользоваться общей средней не всегда целесообразно, а предпочтение нужно отдать средним, рассчитанным по отдельным подпериодам.