Ряды динамики. Основные показатели изменения уровней ряда. Средние показатели.

Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов. Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Базисные показатели характеризуют итоговый результат всех изменений в уровнях ряда от периода базисного уровня до данного (i-го) периода.

Цепные показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость изменения ряда динамики и определяется как разность между данным уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения.

Абсолютный прирост (базисный)

где y_i - уровень сравниваемого периода; y₀ - уровень базисного периода.

Абсолютный прирост с переменной базой (цепной), который называют скоростью роста,

где y_i - уровень сравниваемого периода; y_i-1 - уровень предшествующего периода.

Коэффициент роста K_i определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста базисный

Коэффициент роста цепной

Темп роста

Темп прироста Т_П определяется как отношение абсолютного прироста данного уровня к предыдущему или базисному.

Темп прироста базисный

Темп прироста цепной

Темп прироста можно рассчитать и иным путем: как разность между темпом роста и 100 % или как разность между коэффициентом роста и 1 (единицей):

1) Т_п = Т_р - 100%; 2) Т_п = K_i - 1.

Абсолютное значение одного процента прироста A_i . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

Данный показатель рассчитывают по формуле

Для характеристики динамики изучаемого явления за продолжительный период рассчитывают группу средних показателей динамики. Можно выделить две категории показателей в этой группе: а) средние уровни ряда; б) средние показатели изменения уровней ряда.

Средние уровни ряда рассчитываются в зависимости от вида временного ряда.

Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень ряда рассчитывается по формуле простой средней арифметической:

где n - число уровней ряда.

Для моментного динамического ряда средний уровень определяется следующим образом.

Средний уровень моментного ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле средней хронологической:

где n - число дат.

Средний уровень моментного ряда с неравными интервалами рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов берется продолжительность промежутков времени между временными моментами изменений в уровнях динамического ряда:

где t - продолжительность периода (дни, месяцы), в течение которого уровень не изменялся.

Средний абсолютный прирост (средняя скорость роста) определяется как средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные периоды времени:

где y_n - конечный уровень ряда; y₁ - начальный уровень ряда.

Средний коэффициент роста ( ) рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:

где К_р1 , К_р2 , ..., К_{р n-1} - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда.

Средний коэффициент роста можно определить иначе:

Средний темп роста, %. Это средний коэффициент роста, который выражается в процентах:

Средний темп прироста , %. Для расчета данного показателя первоначально определяется средний темп роста, который затем уменьшается на 100%. Его также можно определить, если уменьшить средний коэффициент роста на единицу:

Среднее абсолютное значение 1% прироста можно рассчитать по формуле

12. Ряды динамики. Составляющие ряда динамики. Методы выявления основной тенденции (тренда). Измерение колеблемости ряда.

Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов. Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Измените уровней ряда динамики обуславливается на изучаемое явление определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд) Воздействие факторов действующих периодически вызывает повторяемые во времени колебания уровней ряда динамики . Действие разовых факторов отображается случайными (кратковременных) изменениями уровней ряда дин-ки. Т.т ряд дин-ки вкл след основ. компоненты : 1)основ тенденция (тренд) 2)циклические (периодические колебания) 3)Случайные колебания Основной тенденцией развития (трендом) наз-ся плавное и устойчивое изменения уровня явлений во времени свободное от случ. Колебний. Выявление основ тенденции изменения уровней ряда предполагает её количественное выражение в некоторой мере свободное от случайных воздействий. Для выявления тренда испо-ся различные способы сглаживания (выравнивания ряда) : 1)Метод укрепления интервалов – заключ-ся в том что первоначальный ряд динамики преобразуется в ряд более продолжительных периодов (Напр. ряд, содержащий данные в месячном выпуске продукции преобразуется в ряд квартальных данных) 2)Метод скользящей средней. Состоит в том сто исходные уровни ряда заменяются средними величинами, к-рые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Число уровней, поск-ым рассчитываются сред. значение наз-ся интервалом сглаживания, он мож. четным и нечетным. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением их принятого периода скольжения. 1-ого уровня и включением следующего. Нахождение скользящей средней по четному числу уровней осложняется тем, что средняя мож быть отнесена толь. к середине укрупненного интер-ла. Поэт. для определения сглаженных уровней производится центрирование, т.е. нахождение средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. 3)Аналитическое выравнивание. Суть метода заключается в подборе матем. Функции, к-рая наилучшим образом характеризует исходные уровни ряда динамики. Эмпирические (фактические) уровни ряда динамики заменяют на плавно изменяющиеся теоретические уровни, рассчитанные по какой-либо функц. Зависимости отклонение исходных уровней ряда от уровней, соответ-щих общей тенденции объясняется действием случайных или периодических факторов. Для выравнивания используют след. матем. Функции : а) линейная y_t=a₀+a₁ty₁ – значение выравненного ряда (теортетич-кие уровни) a₀,a₁ – параметры прямых t – показатель времени б)параболическая y_t = a₀ + a₁t + a₂t² в) гиперболическая yt = a₀ + a₁ * 1/t г) логарифмическая

y_t = a₀ + a₁ * lgt д) экспоненциальная y_t = a₀ * a₁^t Выбор ф-ции производится на основе анализа характера закономерностей дин-ки изучаемого явления. В практике стат. изучения тренда различ. След типы развития явлений во времени :

1)равномерное развитие, к-рому присущи постоянные приросты. Основная тенденция отображается уравнением прямой.

2)равноускоренное развитие. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста. Основная тенденция отображается функцией параболы 2-ого порядка.

3)Развитие с переменным ускорением (замедление). Основная тенденция отображается функцией параболы 3-ого порядка.

4)развитие по экспоненте характеризует стабильные темпы роста.

Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов — один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.

Примеры

Пример кривой, проведённой через точки, имеющие нормально распределённое отклонение от истинного значения.
Пусть надо решить систему уравнений

(1)

число которых более числа неизвестных x, y,

Чтобы решить их по способу наименьших квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые, или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Если обозначить для краткости:

то нормальные уравнения представятся в следующем простом виде:

(2)

Легко заметить, что коэффициенты нормальных уравнений весьма легко составляются из коэффициентов данных, и притом коэффициент у первой неизвестной во втором уравнении равен коэффициенту у второй неизвестной в первом, коэффициент у первой неизвестной в третьем уравнении равен коэффициенту у третьей неизвестной в первом и т. д