Полная группа событий, противоположные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

Достоверное, невозможное, случайное события, совместные и несовместные события: 3 определения вероятностей.

*Достоверное событие - это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует все множество исходов данного эксперимента;

*Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента;

*Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Случайным считается событие, связанное со случайным экспериментом;

*Два события А и В называются совместным, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента.

*3 определения вероятностей

1.Классическое определение: Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа m исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу n возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: Р(А)=m/n

Свойства:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2.Вероятность достоверного события равна 1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

4. P(A)= 1- P(A)

2. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается Р*(А)=mA/n , где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

3. Аксиоматический подход к определению вероятности: третьим подходом к определению вероятности является аксиоматический подход, при котором вероятности задаются перечислением их свойств. В этом случае вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. 0≤P(A)≤1

2. P(A)=1, если А - достоверное событие.

3. P(A∩ B)=P(A)+P(B), если А и В несовместны.

4. Геометрическое определение вероятности: Пусть пространство элементарных событий 1 C представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А , содержащиеся в 1 C . Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области 1 C , называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле

P(A) = S(A)/S(C1) где S(A) и S(C1) – площади областей А и С1

Если С1 представляет собой отрезок P(A) = l(A)/L(C1) где l(A) и L(C1) – длины отрезков

Если С1 представляет собой трехмерную область P(A) = V(A)/V(C1) где V(A), V(C1) – объемы

Сумма, произведение событий. Формулы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

*Суммой событий А и В называется событие С=А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А и В(т.е.или А, или В, или оба вместе).

*Произведением событий А и В называется событие С=А*В которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В.

*Разностью событий А и В называется событие С=А-В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходитсобытие В.

* Размещением из n элементов по k элементов ( 0 £ k £ n ) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов.

k

А n = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) = n!/(n-k)! Где n! = 1× 2 ×3×.....× n ;

*Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

n

Pn = An = n!

*Сочетанием из n элементов по k (0≤ k≤ n) называется любое подмножество данного множества, которое содержит k элементов. Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

k

C n = (n(n-1)(n-2)…(n-k+1))/k! = n!/(k!(n-k)!)

Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

n n

P ( ∑ Ai ) = ∑ P(Ai)

i=1 i=1

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыт.

Теорема. Вероятность сложения двух совместных событий равна суммевероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+ B) = P(A)+ P(B)- P(AB)

Для трех событий А, В и С имеем: P(A+ B +C) = P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)

Замечание. В случае трех и большего числа событий для нахождения вероятности суммы

S этих событий проще найти вероятность противоположного события S , а затем воспользоваться равенством P(S ) =1- P(S ).

Полная группа событий, противоположные события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

*Условная вероятность

Пусть А и В – некоторые события , при чем P(B) > 0

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло.

P (A) = (P(AB)) / P(B)

B

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А

P (B) = (P(AB)) / P(A) (P(A)≠0) или P(B/A) = (P(AB)) / P(A)

A

* Теорема (правило умножения вероятностей)

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

P(AB) = P(A) *P (B) = × или P(AB) = P(B) * P (A)

A B

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:

P (ABC… LM) = P(A) * P (B) * P (C) … P (M)

A AB AB..L

*Противоположные события

Событие А влечет событие В, если из того, что происходит событие А следует наступление события В А ∩ В

_

Противоположным событию А называется А , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

*Полная группа событий

Полной группой событий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Сумма вероятностей всех событий в группе всегда равна 1.

5. вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.(*)

Доказательство

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)

6.Формула полной вероятности..
Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно,

Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Но (i=1, 2, ..., n), поэтому

.Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

7. Формула Байеса:

,

где

— априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

— вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события B.

Схема Бернулли

Проводятся опытов, в каждом из которых может произойти определенное событие («успех») с вероятностью (или не произойти — «неудача» — ). Задача — найти вероятность получения успехов в опыте.

Решение:

Количество успехов — величина случайная, которая имеет распределение Бернулли.

9. Локальная теорема Лапласа: Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится ровно раз, приближенно вычисляется формулой:

Интегральная: Пусть вероятность появления события А в каждом из n(n→∞)независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0<р<1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно вычисляется формулой:

10. Случайные величины.

Случайные величины – величины, которые в результате испытания получает 1 и только 1 значение ( неизвестное).

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы (аналитически) и графически

11. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.

Биноминальное распределение: Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях.

P(x=k)=

Распределение Пуассона: Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит

P(Z=k)=

12. Поток событий и его свойства.

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени.

· Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета.

· Свойство отсутствия последействия: вероятность появления k на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

· Свойство ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события

13. Математическое ожидание. Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания.

14. Теорема Бернулли. Бернулли: Если в каждом из п независимых опытов вероятностьр появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет сколь угодно малым, как угодно близка к 1:

Плотность распределения вероятности. Плотностью распределения(или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

15. Непрерывное равномерное распределение.Непреры́вное равноме́рное распределе́ние — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины. Непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале [а; в], если ее плотность вероятности в этом интервале постоянна, т.е. если все значения в этом интервале равновероятны:

16. Нормальное распределение.

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой илираспределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

17. Система случайных величин.

Существуют также случайные величины, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие случайные величины называются двумерными, трехмерными и т.д. В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин. Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях. Определение. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

18. Генеральная совокупность, генеральная выборка (от лат. generis — общий, родовой)(в англ. терминологии — population) — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, женщины 10-89 лет, использующие крем для рук определённых марок не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $150 на одного члена семьи.

19. Смещенная и несмещенная оценки.

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру. Смещенная оценка - статистическая оценка, математич. ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой величиной.

20. Доверительный интервал.

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

20.Точность оценки, доверительная вероятность, доверительный интервал.

Доверительный интер-вал для оценки мат ожидания нормального рас-пределения при известном мат ожидании (вы-вод). Точечные оценки неизвестного параметра Ө хороши в качестве первоначальных результа-тов обработки наблюдений, их недостаток в том, что неизвестно с какой целью они дают оценоч-ный параметр. Для выбора небольшого объема вопрос о точности существенен, т.к. между Ө и Ө* м. б. большое расхождение, кроме того, при решении задач часто требуется определить и надежность этих оценок, тогда и возникает зада-ча о приближении параметра Ө не 1 числом, а целым интервалом (Ө1*;Ө*