Дифференциальное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Производная функция: определение, свойства, таблица производных.
2. Исследование функции на монотонность.
3. Исследование функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба.
4. Исследование функции на экстремум.
5. Геометрический и механический смыслы производной.
6. Построение графика функции, используя схему исследования свойств.
Примеры решения задач
1. Найти производные функций:
Решение
При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.
2. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x3 - 3x2 - 45x + 20
Решение
Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:
1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.
2) Найдем первую производную и определим соответствующие свойства
функции. f’(x)=3x2 – 6x –45. Решим уравнение 3х2 – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.
Воспользуемся таблицей:
х | (-¥; -3) | -3 | (-3;5) | (5;¥) | |
f’(x) | + | - | + | ||
f(x) | max | min |
Функция возрастает в интервалах (-¥;-3) и (5;¥), убывает в интервале (-3; 5).
Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.
3) Найдем вторую производную f”(x)=(3x2 – 6x –45)’=6x-6.
Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.
Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:
х | (-¥; 1) | (1;¥) | |
f”(x) | - | + | |
f(x) | Ç выпуклая | точка перегиба | È вогнутая |
4) Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:
х | - 6 | -5 | -3 | - 1 | |||||||
f(x) | - 34 | - 27 | -74 | -144 | -155 | -99 | |||||
max | пер. | min |
Интегральное исчисление
Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Неопределенный интеграл: определение, свойства, таблица интегралов.
2. Способы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, способ подстановки.
3. Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.
4. Способы вычисления определенного интеграла.
5. Применение определенного интеграла к решению практических задач: вычисление площадей плоских фигур.
Примеры решения задач
1) Найти неопределенные интегралы:
Решение
При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.
б) Выполнив почленное деление в подынтегральной функции, получим:
в)
г) Будем использовать подстановку:
д) Воспользуемся подстановкой:
2) Вычислить определенные интегралы:
Решение
При вычислении определенных интегралов используем формулу Ньютона-Лейбница
. Получение первообразной функции F(x) будем выполнять или непосредственно или способом подстановки.
б)
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у=1 – х2 + 4х и 2х – у – 2 =0
Для определения точек пересечения линий составим уравнение из равенства выражений этих линий: 1 – х2 + 4х = 2х – 2; получим уравнение: х2 – 2х – 3 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа: (-1) и 3. Для построения линий найдем
значения функций и составим их таблицы:
х | -1 | х | -1 | ||||||
у1 | -4 | у2 | -4 |
Построив фигуру на плоскости, вычислим ее площадь, определив значение интеграла
Дискретная математика
Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Множества, их виды, способы задания.
2. Простейшие действия над множествами.
3. Отношения, их некоторые виды.
4. Графы, их основные элементы.
5. Некоторые виды графов.
Упражнения и их решение.
1) Составить объединение, пересечение и разность двух множеств.
а) А={3; 4; 6; 7}, B={2; 3; 4; 5}
AÈB={2; 3; 4; 5; 6; 7}, AÇB={3; 4}, A \ B ={6; 7}
б) А=(-1; 3]; B=[1; 5]
AÈB=(-1;5]; AÇB=[1; 3]; A \ B=(-1; 1)
В этом упражнении решение следует сопровождать рисунками.
Комплексные числа
Изучить по учебной литературе вопросы:
1. Определение комплексного числа в алгебраической форме.
2. Геометрическое изображение комплексного числа.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Выполнение арифметических действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах.
Примеры решения задач
1) Построить на координатной плоскости числа Z1 , Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.
Решение
На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом
координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.
2) Выполнить действия сложения, вычитания, умножения, деления над комплексными числами в алгебраической форме.
Z1=3+4i, Z2=2i18-5i15
Решение
Предварительно преобразуем второе число, используя значения степеней мнимой единицы. i18=i16+2=i16i2=1i2=-1, i15=i12+3=i12i3=i3=-i, Z2=-2+5i
Выполним действия над числами:
Z1+Z2=(3+4i)+(-2+5i)=3+4i-2+5i=(3-2)+(4i+5i)=1+9i
Z1-Z2=(3+4i)-(-2+5i)=3+4i+2-5i=(3+2)+(4i-5i)=5-I
Z1 .Z2=(3+4i) . (-2+5i)=-6+15i – 8i +20i2=-6+7i – 20= - 26 + 7i
3) Представить число в тригонометрической форме Z=
Найдем модуль и аргумент комплексного числа