Дифференциальное исчисление

Колледж ландшафтного дизайна № 18

Основы высшей математики.

( Учебное пособие для студентов 2-го курса СПО)

Аналитическая геометрия.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Отрезок с граничными точками А и В называется направленным, если указано, какая из точек А и В считается началом, а какая концом отрезка.

Определение 2: Величиной АВ направленного отрезка называется вещественное число, равное длине отрезка, если направления отрезка и оси совпадают, и равное числу противоположному длине, если эти направления противоположны.

Основное тождество: Для любых точек А, В, С на оси справедливо равенство: АВ + ВС = АС.

Определение 3: М – произвольная точка на координатной прямой. Координатой точки М называется вещественное число х, поставленное в соответствие точке М, равное величине ОМ направленного отрезка.

Теорема 1(величина направленного отрезка): Для любых точек М1 (х1) и М2 (х2) на координатной прямой всегда справедливо равенство М1М2 = х2 – х1.

Определение 4: М – произвольная точка в прямоугольной системе координат.

Прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков – проекций точки на соответствующую координатную прямую.

Теорема 2 (расстояние между точками): Для любых точек М1(х1;у1) и М2(х2;у2) всегда справедливо равенство:

d = (х2 – х1)² + (у2 – у1)²

Теорема 3 (площадь треугольника): Треугольник АВС задан координатами его вершин: А(х1;у1), В(х2;у2), С(х3;у3). Площадь треугольника находим по формуле:

S = ½ ( (x2 –x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y2 – y1) ).

Теорема 4 (деление отрезка в данном отношении): Точка М(х;у) делит отрезок М1М2 в отношении л. Координаты точки М определяются по формуле:

Х1 + лХ2 У1 + лУ2

Х = 1 + л У = 1 + л

-1-

Определение 5: М - произвольная точка в полярной системе координат. Полярными координатами точки называется упорядоченная пара чисел (р;а), где

р (полярный радиус) – расстояние от точки до полюса, а (полярный угол) – угол между полярной осью и лучем ОМ (О – полюс).

Формулы перехода от одной системы координат к другой:

p = x² + y² x = p cosa

tg a = y/x y = p sina .

Виды уравнений прямой:

Каноническое уравнение : Ах + Ву + С = 0;

Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом : у = кх + в;

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент: у – у1 = к ( х – х1);

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: у – у1 х – х1

у2 –у1 = х2 - х1

Уравнение прямой в отрезках: х/а + у/в = 1.

Взаимное расположение прямых: k2 – k1

Угол между двумя прямыми: tga = 1 + k1k2

Прямые параллельны k1 = k2;

Прямые перпендикулярны k2 = -1/k1.

Теорема 5(расстояние от точки до прямой): Точка плоскости М(х0;у0) удалена от прямой Ах + Ву + С = 0 на расстояние d. Тогда Ах0 + Ву0 + С

d =

А² + В²

Определение 6: Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса: Х²/А² + У²/В² = 1.

Определение 7: Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы: Х²/А² - У² /В² = 1.

Определение 8: Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: У² = 2рХ ( Х² = 2рУ ).

-2-

ЗАДАЧИ:

1. Даны точки А(-5), В(4), С(-2). Найдите величины АВ, ВС, АС соответствующих направленных отрезков.

2. Найдите величину АВ и длину /АВ/ соответствующего направленного отрезка, заданного следующими точками:

а) А(3), В(11) в) А(-5), В(-3)

б) А(-1), В(3) г) А(1), В(-3)

3. Даны точки А(0;0), В(3;-4), С(-3;4). Найдите расстояние между точками

а) А и В; б) В и С; в) А и С.

4. На оси абсцисс найти точку, которая находится на расстоянии 5 единиц от точки М(1;3).

5. Вычислите площадь и периметр треугольника, вершинами которого являются точки:

а) А(2;-3), В(3;2), С(-2;5); б) М(3;-4), N(-2;3), Р(4;5).

6. Площадь треугольника равна 3, две его вершины – точки А(3;1) и В(1;-3). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.

7. Найдите ординату точки С, если известно, что площадь треугольника АВС равна 15 кв.ед. Координаты вершин треугольника А(-2;1), В(2;2), С(4;у).

8. Точка К делит отрезок МN в отношении |MK|: |KN| = 2 : 3. Найти координаты точки К, если М(7;4), N(-3;9).

9. Отрезок, ограниченный точками А(1;-3) и В(4;3) разделен на три равные части. Определите координаты точек деления.

10. Найдите длины медиан треугольника АВС, если А(2;-1), В(-2;-3), С(2;5).

11. Точка В делит отрезок АС в отношении 6 : 3. Найдите координаты точки С, если А(2;-3) и В(-4;1).

12. Началом отрезка служит точка А(-3;-5), а серединой – точка С(3;2). Найти координаты конца отрезка, точки В.

13. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если

А(-2;1), В(2;-1), С(4;3).

14. Построить точки, заданные полярными координатами:

А(2; П/2), В(3; П/4), С(3; 3П/4), D(4;0), F(2; 3П/2), Р(3;П).

15. В прямоугольной системе координат даны точки М(0;5), Р(-3;0), К(-1;1),

Т(2:-3). Найдите их полярные координаты.

16. В полярной системе координат даны точки А(8; П/2), В(4; -П/4), С ( 2; П/6). Найдите их прямоугольные координаты.

17. Прямая задана общим уравнением. Написать ее уравнение с угловым коэффициентом:

а) 2х – 3у + 5 = 0; б) 3х + 5у – 1 = 0; в) 12х -5у -65 =0

18. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок в=3 и образующей с осью Ох угол а=П/6.

19. Построить прямую, заданную уравнением:

а) у = ¾ х + 2; в) у = -3/7 х – 5;

б) у = 5/2 х - 4; г) у = -2 х + 3.

20. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;1) и образующей с осью Ох угол а = П/4.

21. Составить уравнения прямых, заданных двумя точками:

а)А(1;3), В(4;1); б) С(-1;5), D(3;-7); в) М(-3;0), N(0;5).

-3-

22. Составить уравнения медиан треугольника АВС, где А(7;0), В(3;6), С(-1;1).

23. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В((2;4), С(4;0). Составить уравнения стороны ВС, медианы АЕ, высоты АD.

24. Привести уравнения к виду уравнения прямой «в отрезках» и построить прямые: а) 2х + 5у +20 = 0; в) 6х + у -3 = 0;

б) 3х – 4у – 12 = 0; г) х – 8у + 4 = 0.

25. Определить взаимное расположение прямых:

а) 5х – у +4 = 0 и 10х – 2у + 1 = 0 ; г) 2х – у + 1 = 0 и х – 2у + 1 = 0 ;

б) 3х + 2у + 3 = 0 и 3х – 2у – 1 = 0 ; д) 5х – у + 4 = 0 и х + 5у – 1 = 0;

в) 5х – 3у + 1 = 0 и 15х + 9у – 7 = 0; е) 3х + 2у +17 = 0 и 2х – 3у + 8 = 0.

26. Найти угол между прямыми:

а) у = 2х – 3 и у = х/2 + 1;

б) 5х –у + 7 = 0 и 2х – 3у + 1 = 0 ;

в) 2х + у = 0 и у = 3х – 4.

27. Найти углы треугольника, заданного вершинами А(-6;-3), В(6;7), С(2;-1).

28. Найти угол между прямыми, если одна из них проходит через точки А(4;2) и В(1;-7), а вторая – через точки М(-1;3) и Т(8;6).

29. Составьте уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6;2) на прямую х – 4у - 7 = 0.

30. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(-4;3) и параллельной прямой х + 2у +3 = 0.

31. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой 3х – 5у + 2 = 0.

32. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2;3) и параллельной прямой 4х + 3у – 12 = 0.

33. Составить уравнение перпендикуляра к отрезку МР, где М(7;3) и Р(-3;2), проходящего через его середину.

34. Найдите расстояние от точек А(4;3), В(2;1), С(4;0), О(0;0) до прямой

3х + 4у – 10 = 0.

35. Покажите, что прямые 2х – 3у – 6 = 0 и 4х - 6у – 25 = 0 параллельны и найдите расстояние между ними.

36. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

4х + 3у = 7 и 3х + 2у = 5 и составляющей тот же угол с осью Ох, что и прямая

2х + у = 5.

37. Найдите длину высоты СК треугольника с вершинами А(-1;3), В(4;-2), С(0:1), составьте ее уравнение. Какой угол образует высота СК со стороной СА?

38. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2;4) и удаленной от начала координат на расстояние d = 2.

39. Приведите данное уравнение к каноническому виду, найдите координаты фокусов, длины осей и изобразите кривую:

а) 3х²+ 16у² = 192; в) 16 х² – 25 у² = 400; г) 16х²– 9у²= 144;

б) 3х² – 4у² =12 ; г) 2х²+ у² = 32; д) 9х² + 25у² = 225.

40. Составьте уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между ее вершинами равно 16 и фокусы ее находятся в точках (-10;0), (10;0).

41. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого малая ось 2в = 6, а расстояние между фокусами | F1F2| равно 8.

-4-

Линейная алгебра.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.

Определение 2: Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

Определение 3: Суммой матриц А и В называется такая матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Определение 4: Произведением матрицы А на число к называется такая матрица каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число к.

Определение 5:Произведениемдвух матриц А и В называется такая матрица, каждый элемент aij которой находится следующим образом: каждый элемент строки i умножается на соответствующий элемент столбца j и полученные произведения складываются.

Свойства арифметических действий над матрицами:

1) А + В = В + А 5) АВ = ВА

2) (А + В) + С = А + (В + С) 6) А(ВС) = (АВ)С

3) А + 0 + А

4)А + (- А) + 0 7) (А+В)С = АС + ВС

Определение 6: Пусть дана квадратная матрица второго порядка а11 а12

Определителем (или детерминантом) а21 а22

второго порядка, соответствующим данной матрице называется число:

D = а11а22 – а12а21.

Определение 7: Пусть дана квадратная матрица а11 а12 а13

третьего порядка: А = а21 а22 а23

а31 а32 а33

Определителем (или детерминантом ) третьего порядка называется число:

Det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – a13a22a31 – a23a32a11 – a12a21a33.

Основные свойства определителей:

1) Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать).

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный.

3) Общий множитель строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцам (или пропорциональными) равен нулю.

-5-

5) Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

Определение 8: Минором Мij соответствующего элемента определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Определение 9: Алгебраическимдополнением элемента аij определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени (i + j), где i и j – номера строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент.

i+j

Аij = (-1) Мij.

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:

Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя D на их алгебраические дополнения равна этому определителю.

D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin

Теорема Крамера:

Система п уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободнах членов.

-1

Алгоритм вычисления обратных матриц 2-го и 3-го порядков (А ):

1. Найти определитель матрицы А.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записать новую матрицу.

3. Транспонировать новую матрицу.

4. Умножить полученную матрицу на 1/D.

Алгоритм решения простейших матричных уравнений АХ = В:

-1

Х = А В

1. Найти матрицу, обратную матрице А.

2. Найти произведение обратной матрицы на матрицу – столбец свободных членов В.

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Задачи аналитической геометрии, решаемые методами линейной алгебры:

1. Уравнение прямой, проходящей через две точи (Х1;У1), (Х2;У2):

Х У 1

Х1 У1 1 = 0

Х2 У2 1

-6-

2. Площадь треугольника с вершинами в точках А(Х1; У1), В(Х2;У), С(Х3;У3).

X1 У1 1

SABC = Х2 У2 1

Х3 У3 1

3. Условие принадлежности трех точек (Х1;У1), (Х2;У2), (Х3;У3) одной прямой:

X1 У1 1

Х2 У2 1 = 0

Х3 У3 1

4. Условие пересечения трех прямых А1х + В1у + С1 = 0, А2х + В2у + С2 = 0,

А3х + В3у + С3 = 0 в одной точке:

А1 В1 С1

А2 В2 С2 = 0

А3 В3 С3

5. Уравнение плоскости, проходящей через три точки (Х1;У1;Z1), (Х2;У2;Z2),

(Х3;У3;Z3) :

X - X1 Y - У1 Z - Z1

Х2 – X1 У2 - Y1 Z2 – Z1 = 0

Х3 – X1 У3 – Y1 Z3 – Z1

ЗАДАЧИ:

1. Сложить матрицы А и В, если:

а) 2 4 -1 3 в) 2 -1 4 1

А = - 1 3 В = 1 -4 А = 3 0 В = -3 -1

5 8 2 3

б) 3 1 0 4 2 -3

А = 2 -7 4 В = 5 7 0 г) А = 1 0 3 2 -1

6 5 2 0 0 1 2 4 8 В = 3 5

0 -8

2. Умножить матрицы из задачи 1 на числа 3; -2; - 1; 5.

3. Найти линейные комбинации матриц:

а) 3А – 2В б) 2А – В в) 2А + 3В – С

2 -4 0 4 -1 -2 1 -1 2

1) А = -1 5 1 В = 0 -3 5 С = 3 -4 2

0 3 7 2 0 -4 -2 1 5

6 -4 0 -1 2 5 -1

2) А = 3 -2 В = -2 5 С = 4 -2 8

-1 5 4 0

-7-

4. Найдите произведение матриц А и В, если:

-1 2

а) А = 3 -1 В = 1 1 б) А = 3 2 1 В = 2 0

1 1 3 1 0 1 2 -3 1

0 -1 2 3 1

в) А = 2 1 1 В = 2 1

3 0 1 1 0

3 7 1

5. Вычислить С = А² + 2В, где А = 2 -1 В = -7 4

0 35 -3

-1 2

6. Найти 3А* 2В, если В = 2 0 А = 2 -1 0

-3 1 3 2 1

7. Вычислите определители матриц:

а) -1 4 г) 1 2 3 е) 2 3 -4

5 2 4 5 6 5 6 7

7 8 9 8 0 3

б) 3 -1

4 -5 д) 3 2 1 ж) 5 0 0

2 5 3 3 2 0

в) 2 0 3 4 3 0 7 -1

1 -3

8. Решить системы уравнений методом Крамера:

а) 3х – 2у = 5, д) 5х + 3у = 7,

6х - 4 у = 11; 10х – 6у = 2;

б) 5х + 3у = 12, е) 2х – 3у + z = -7,

2х - у = 7; x + 4y + 2z = -1,

x – 4y = -5;

в) 2х + 3у = 7,

4х – 5у = 2; ж) 2x – 7y + z = -4,

3x + y – z = 17,

г) 2х + 5у = 3, x – y + 3z = 3.

4х + 10 у = 6;

9. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

а) (2;-3), (4;1) б) (-5;-1), (2;3) в) (8;-2), (-4; 1) г) (0; -2), (3;5).

10. Вычислить площадь треугольника, заданного координатами вершин:

а) (1;1), (6;4), (8;2) б) (2;-1), (-5;0), (-1;2).

11. Выясните, принадлежат ли точки одной прямой:

а) (2;1), (-1;0), (5;2) б) (1;2), (0;0), (-2;-1) г) (2;-1), (1;2), (3;2).

-8-

12. Выясните, пересекаются ли прямые в одной точке:

а) 2х – 5у – 1 = 0, х – у = 0, х + у – 1 = 0;

б) х – 2у – 4 = 0, х + у – 1 = 0, у + 1 = 0.

13. При каком значении неизвестной точки лежат на одной прямой:

а) (2;у), (3;1), (-2;4); б) (-1;1), (3;7), (х;0)?

14. При каком значении параметра прямые пересекаются в одной точке:

а) 2х – 3у -1 = 0, 2А – 3у -2 = 0, х – 2у = 0;

б) 5х – Ву – 4 = 0, -х + 5 = 0, х + у – 1 = 0;

в) х + 2у – 3 = 0, 2х + 2у + С = 0, у = 4.

г) х + у + С = 2, у = 1, х = -2?

15. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

а) (1;1;2), (4;-1;3), (1;-1; -2); б) (-1;-1;-1;), (2;3;1), (-1;2;2)

16. Найдите матрицу, обратную данной:

а) 2 -1 б) 3 -4 в) 1 2 3

1 3 1 2 0 -1 2

3 0 7

17. Решите простей шее матричное уравнение:

а) 1 2 7 б) -1 1 3

3 4 * Х = 17 2 0 * Х = -2

18. Решите систему уравнений матричным способом:

а) 3х1 – 5х2 = 13, б) 3х1 – 4х2 = -6,

2х1 + 7х2 = 81; 3х1 + 4х2 = 18.

-9-

Теория пределов.

Основные понятия и свойства:

Определение 1: Если каждому числу п из натурального ряда чисел 1,2,3,…,п,… поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел х1, х2 … хn, … называется числовой последовательностью.

Определение 2: Число а называется пределом числовой последовательности yn, если для любого положительного числа э найдется такое натуральное число N(номер члена последовательности), что при всех последующих номеров п выполняется неравенство: | y_n – a |< э.

Lim (Yn) = a

Определение 3: Последовательность (Хп) называется ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что каждый член последовательности принимает значения не меньшие m и не большие M. Если существует лишь одно из этих чисел, то последовательность ограничена либо сверху (существует только M), либо снизу (существует только m).

Определение 4: Последовательность (Хп) называется бесконечно большой, если для любого положительного числа э (сколь большим бы мы его ни взяли) cуществует номер N такой, сто при всех n > N выполняется неравенство: |Хп| > э.

Lim (Xn) = 00

Определение 5: Последовательность (Уп) называется бесконечно малой, если для любого положительного числа э (сколь угодно малого) существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство: |Уn| < э.

Lim (Yn) = 0

Основные свойства пределов:

1) lim (X + Y + Z) = limX + limy = limZ

2) lim (XYZ) = limX * limY * limZ

3) lim (X/Y) = (lim X)/(limy)

4) lim (cX) = c limX (с – постоянный множитель)

n n

5) lim (X ) = (limX)

Определение 6: Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х, взятому из области определения, ставится в соответствие по определенному правилу единственное значение у.

Определение 7: Число b называется пределом функции f(x) при х стремящемся к а, если для любого э > 0 найдется такое б > 0, что для всех х , удовлетворяющих условию | x – a| < б выполняется неравенство |f(x) – b| < э.

Lim f(x) = b

x a

(т.е. число b называется пределом функции f(x) в точке а, если для всех х,

-10-

достаточно близких к а, значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от b.

Определение 8: Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности , если для любого э >0, найдется число М > 0, что для всех |x| > M выполняется неравенство | A – f(x)| < э.

Lim f(x) = A

X 00

(т.е. число А называется пределом функции y = f(x) на бесконечности

(или при х, стремящемся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от А.)

Свойства бесконечно малых (0) и бесконечно больших (оо) величин:

0 + 0 = 0 оо + оо = оо неопреднленности:

с + 0 = с оо + с = оо 0×оо

0 × 0 = 0 оо + 0 = оо 0/оо

с × 0 = 0 оо × оо = оо оо/0

0/с = 0 оо × с = оо оо/оо

с/0 = оо оо/с = оо 0/0

с/оо = 0

Замечательные пределы:

1) lim (sinx)/х = 1 2) lim (1 + 1/x)^x = е

х 0 x oo

оо, если степень P(x) больше степени Q(x)

3) lim P(x)/Q(x) = 0, если степень P(x) меньше степени Q(x)

c1/с2, если степень P(x) равна степени Q(x)

P(x) и Q(x) – многочлены, с1, с2 – коэффициенты при одночленах с большей степенью.

Определение 9: Функция f(x) называется непрерывной в данной точке а, если ее предел в точке а существует и равен значению функции в этой точке, т.е. если

Lim f(x) = f(x)

x a

Достаточное условие непрерывности функции в точке:

Функция непрерывна в точке а, если ее предел слева равен пределу справа в этой точке, т.е. lim f(x) = lim f(x).

х а – 0 х а + 0

Определение 10: х0 называется точкой разрыва 1-го рода, если функция f(x) имеет конечные пределы слева и справа в этой точке. Во всех остальных случаях х0 – точка разрыва 2-го рода.

-11-

ЗАДАЧИ:

1. Найти пределы:

а) lim (x² – 7x +4) ; б) lim (x² + x + 2) / (x² + x + 1); в) lim x + 5 ,

x 0 x 1 x -5

г) lim 5 / (х -1); д) lim (x² + 3) / 7 ; е) lim 12 / ( 5 – х)

х 1 х оо х оо

ж) lim (x² + x) / 23; з) lim (x³ + 1) / (х – 2) ; и) lim (x + 6) / х

x oo х 2 х -6

2. Вычислить пределы:

а) lim (x² – 6x + 9) / (x² – 3x); г) lim ( x – 1 - 2) / (x – 5)

x 3 x 5

б) lim (x² – 5x + 6) / (х – 2); д)lim ( x + 2 - 1) / (x + 1)

х 2 x -1

в) lim (x² + 2x) / (х² – 4); е) lim x + 1 - x

х -2 x oo

3. Найти пределы:

а) lim (x⁴ – 3) / (x² + 5x); ж) lim (5x³ + x – 1) / (2x³ + 5x²);

x oo x oo

б) lim (2x³ – x + 5) / (3x³ + 7x + 1); з) lim ( x² + 4 ) / x;

x oo x oo

в) lim (x³ + 3x) / (6 + x – x⁷); и) lim ( x² – 2x⁴ ) / x²;

x oo x oo

г) lim (x⁴ – 2x⁷) / (x⁷ – 3x⁵); к) lim (5x + cos x) / x ;

x oo x oo

д) lim (x² + 8x – 1) / (x⁵ + 7x³ + 11); л) lim (cos 2x – 6x) / (2x + 5);

x oo x oo

e) lim (4x³ + x² – 2) / (3x² + 5x – 2); м) lim (x² – cos 2x) / (4 – x²).

x oo x oo

4.Найти пределы:

a) lim (sin 2x) / x ; г) lim (sin 5x) / 3x ;

x 0 x 0

б) lim (sin x) / (3x) ; д) lim ( sin 3x) / (sin 7x);

x 0 x 0

в) lim (sin 17x) / 8x е) lim (tg 2x) / x .

x 0 x 0

-12-

5. Вычислите пределы:

x 2x

а) lim (x / (x + 1)) ; г) lim ((x + 2) / x) ;

x→ ∞ x → ∞

x 3x

б) lim ( 1 + 5/x ) ; д) lim (1 + 2/(3x) ) ;

x→ ∞ x → ∞

3x 5x²

в) lim ( 1 + 2/x ) ; е) lim ( (x³ - 2x )/ x³ ) .

x → ∞ x → ∞

6. Исследовать функцию на непрерывность:

а) y = (x + 2) / (x – 3); е) y = x + 1, при х ≥ 2

х – 1, при x < 2.

б) y = lnx / (x - 5);

ж) y = 2 – x , при х < 1

г) y = x / (x + 1); lg x , при x ≥ 1.

x

д) y = √ x – 2 / ( x + 7); з) y = (1/2) , при х ≤ -1

2 , при x > -1

и) y = 5 - x² , при х ≥ 1

х + 3, при х < 1

к) y = 1/x , при x ≥ -1

x ² , при x< -1

л) y = 2/x + 1, при x ≥ 2

x³ - 6, при x < 2

м) y = x / (x² - 1) , при x < 2

lg ( x – 1) , при x ≥ 2

-13-

Дифференциальное исчисление.

Основные понятия и свойства:

Определение 1.(Алгебраический смысл производной).

Производной функции y = f(x) в данной точке х называют предел отношения приращения функции Δу к соответствующему приращению аргумента Δх при условии, что приращение аргумента стремится к 0, т.е.

у΄ = f ΄(x) = lim Δy /Δx .

Δx → 0

Геометрический смысл производной:

Значение производной функции y = f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке х, т.е.

k = f ΄(x) = tg φ, где φ – угол наклона касательной.

Физический смысл производной:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Определение 2: Нормалью называется прямая, проходящая перпендикулярно касательной в ее точке касания.

Уравнение касательной: y – y0 = y' (x0)(x – x0).

Уравнение нормали: y – y0 = -1/ y'(x0) * (x – x0).

Правила дифференцирования:

1) С' = 0 4) (Cu)' = C u', С - постоянная

2) (х)' = 1 5) (uv)' = u'v + v 'u

3) (u + v - w)' = u' + v ' – w ' 6) (u/v)' = ( u'v – v 'u) / v²

7) y(g(x)) = y'(g)×g'(x)

Производные основных элементарных функций:

n n – 1

1) ( x) = n (x) , 7) (sin x)' = cos x ,

2) ( √ x )' = 1/2√x , 8) (cos x)' = - sin x,

x x

3) ( a )' = a × ln a , 9) (tg x)' = 1/ cos² x,

x x

4) ( e )' = e , 10) (ctg x)'= - 1/ sin² x.

5) ( ln x)' = 1/x ,

6) ( log a x)' = 1 / (x lna) ,

Треугольник Паскаля:

1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

-14-

Теорема1 (Правило Лопиталя): Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы вблизи а, непрерывны в точке а, g' (a) ≠ 0 и f(a) = g(a) = 0 (или = ∞), то предел отношения функции f(x) к функции g(x) в точке а равен пределу отношения их производных в этой точке, т.е.

lim f(x) / g(x) = lim f '(x) / g'(x) .

x → a x → a

Определение 3: Точка хо называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности точки хо выполняется неравенство

f(x) < f(xo) ( f(x) > f(xo) ).

Теорема 2(необходимый признак экстремума): Если хо является точкой экстремума функции y = f(x) и производная в этой точке существует, то оно равна нулю: f '(xo) = 0/

Теорема 3 ( признак экстремума (через производные высших порядков)): Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки хо n раз непрерывно дифференцируема и пусть первая, вторая… (n-1) производная функции в этой точке равны нулю, а n-я производная функции в этой точке отлична от нуля. Если n – нечетно (нечетный порядок производной), то точка хо не является точкой экстремума. Если n – четно, то хо – точка экстремума, при чем: если производная принимает положительное значение, то хо – точка минимума, если отрицательное, то точка максимума.

Определение 4: Пусть в точке хо кривая y = f(x) имеет касательную, не параллельную оси Оу (т.е. функция дифференцируема в этой точке). Кривая называется выпуклой в точке хо, если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже касательной, проведенной в точке хо. Кривая называется вогнутой, если соответственно расположена выше касательной.

Теорема 4 (признак вогнутости и выпуклости): Если вторая производная функции y = f(x) в данном промежутке положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна, то кривая выпукла в этом промежутке.

Определение 5: Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Уравнения асимптот:

х = а – вертикальной асимптоты

y = b – горизонтальной асимптоты

y = kx + b, где k = lim f(x)/x , b = lim (f(x) – kx) - наклонной асимптоты.

х→∞ х→∞

-15-

ЗАДАЧИ:

1. Найти 1-ю производную следующих функций:

а) у = (3 – х)/x²; и) y = x²sinx;

б) у = 4/x² - 1/x³ + 4x – 6; к) y = x²(5 - 4x + x³);

в) у = (9 - х²)³; л) y = ln²sin4x;

г) y = 2sin 5x; м) y = (cos3x – 2)³;

5x

д) y = sin²3x; н) y = 4 e - 3/x³ + 1;

е) y = log 5 x; 3x

ж) y = ln x³; o) y = 2 + 5.

2. В какой точке нормаль к кривой у = х² - 1 образует с осью Ох угол 45°?

3. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = 2х³ - 4х в точке (1; -2).

4. Найти угол под которым касательная и нормаль, проведенные к графику функции y = f(x) в точке хо пересекают ось Ох, если:

а) y = √x +5x, xo = 4; б) y = sin 3x – 2x, xo = 0.

Составьте уравнения прямых.

5. Найти угол наклона нормали, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x:

2x

а) y = -x³ + 4, x = 1; б) y = lnx -2x, x = ½; в) y = e +x, x =0.

6. Под каким углом парабола y = x²/2 пересекается с прямой 3х – 2у – 2 = 0?

7. Найти производную функций 3-го порядка:

2x x -x

а) y = e ; в) y = ln x; д) y = e × cos x; ж) y = 2 / x;

б) у = sin²x; г) y = cos 5x; е) y = x lnx; з) y = x² lnx.

8. Найти производную 4-го порядка:

а) y = x³/ (2-x); б) y = sin x × ln x; в) y = x² cos x.

9. Вычислить пределы:

а) lim (sin 7x / tg x); в) lim 4ⁿ / (2n); д) lim ( 2ⁿ -4) / (n -2);

x → 0 n → ∞ n → 2

б) lim (ln x / x); г) lim (ln n + n²) / e²ⁿ; е) lim n /( eⁿ - 1).

x → ∞ n → ∞ n → 0

10. Исследовать функции на экстремум с помощью производных высших порядков:

4 2 2 4 -х

а) у= х - 8х ; г) у = 2х - х ; ж) у = х²е ;

б) у = 2х³ + 6х² - 18х + 120; д) у = (4х)/(1 + х²); з) у = lnx/х ;

4 4 3 х

в) у = (3х + 1)/х³; е) у = 3х - 4х ; и) у = х е .

11. Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость:

а) у = х³ - 3х² + 1; в) у = х³ - 3х² - 9х + 11; д) у = (х – 1)³; ж) у = (х² +4)/х.

4 2 8

б) у = - х³ + 3х²; г) у = х - х ; е) у = (2 – х);

12.Исследовать функции и построить их графики:

а) у = х³ -12х + 4; в) у = 1/3х³ - 2х²; д) у = х/(9 + х²);

б) у = 2х³ - 6х; г) у = 1/(1+х²); е) у = ln(х² +1).

-16-

5. Интегральное исчисление:

Основные понятия и свойства:

Определение1:Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка справедливо равенство F΄(x) = f(x).

Определение 2:Совокупность всех первообразных F(x) + C функции f(x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом: ∫ f(x) dx, где f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение,

x – переменная интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла :

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. ∫ f(x) dx)΄ = f(x).

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е. ∫ mf(x) dx = m ∫ f(x) dx.

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е. ∫(f(x) ± φ(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫φ(x) dx.

4. ∫ f (kx + b) dx = 1/k F(kx +d) +C

Определение 3: Если F(x) + C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x = a до x = b называется

b

определенным интегралом и обозначается символом ∫ f(x) dx, т.е.

b a

∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

a

где a – нижний предел, а b – верхний предел определенного интеграла.

B b

∫ f(x) dx = F(x)│= F(b) – F(a) формула Ньютона – Лейбница.

A a

Основные формулы интегрирования:

n n+1

1. ∫ х dx = (x ) / (n +1) + C при n ≠ -1

х x

2. ∫ е dx = e + C

x x

3. ∫ a dx = a / ln a + C

4. ∫ (dx) / х = ln |x| + C

5. ∫ cos x dx = sin x + C

6. ∫ sin x dx = - cos x + C

Определение 4: дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции или ее дифференциалы.

Определение 5: Уравнение вида f(x)dx + φ(x) = 0 называется уравнением с разделенными переменными.

-17-

Определение 6: Уравнение вида f(x)F(x) + φ(x)Ф(х) = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными.

Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

1. Выражают производную функции через дифференциалы dx и dy.

2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

3. Разделяют переменные.

4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

5. если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Определение 7: Уравнение вида у' + ру = q , где р и q – функции переменной х или постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли:

1. Приводят уравнение к виду у' + ру = q.

2. Используя подстановку у = uv, находят у' = u'v + v'u и подставляют эти выражения в уравнение.

3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций v или u за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

5. записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций v и u в равенство у = uv.

6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

ЗАДАЧИ:

1. Вычислите неопределенный интеграл, применяя формулы интегрирования:

а) ∫(х³ + 1) / х dx б) ∫(x² + x + 5) / 2x dx

в) ∫ (x⁵ + 3e^x)dx г) ∫ (x³ + 2^x) dx

д) ∫е^3х dx е) ∫ (2/х + 8е^х +5^х – х^-3/5)dx

ж) ∫sin3x dx з) ∫cos (5 – 2x)dx

2. Выполните интегрирование способом подстановки (заменой переменной)

а) ∫ sin x cos x dx б) ∫ sin²x cos x dx

в) ∫ cos ³x dx г) ∫ tg x dx

д) ∫ (2х +3)⁴dx е) ∫ (9 – 2х³)⁴ х² dx

3. Вычислите интеграл способом интегрирования по частям:

а) ∫ х cos x dx в) ∫ х е^2х dx

б) ∫ х sin x dx

4. Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями:

а) у = -х² + 4 , у = 0 ;

б) у = 1/х , у = 0, х = 1, х = 3;

-18-

в) ху = 6, х + у – 7 = 0

5. Решить дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

а) уdу + хdх = 0; б) 2уdу = 3х2dх;

в) dу/у = dх /(х – 1); г) е^хdх = уdу.

6. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (найти общее решение):

а) у' = ху²;

б) х ²dу + у ²dх = 0

в) (1 + х²)dу -2хуdх = 0;

г) 1 + у' + у + ху' = 0

д) хdу + 2уdх = 0;

е) у' – у – 1 = 0.

7. Решитьлинейное дифференциальное уравнение первого порядка методом Бернулли:

а) у' – (3/х) у = х;

б) у' + у tgх = cos²х;

в) у' + 2у/х = х², х≠0.

-19-