ІІ. Дифференциальное исчисление

Функций одной переменной

Понятие производной, ее свойства

Пусть ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru задана на интервале ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Возьмем некоторую точку ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и придадим ей приращение ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru так, чтобы ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Если существует конечный предел ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то его называют производной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Если такой предел существует в каждой точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то он называется производной от функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru на ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Операция нахождения производной от функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется дифференцированием.

Для обозначения производной в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru используются символы:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Правила дифференцирования.

1. Если функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируемы в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируемы ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и справедливы формулы:

§ ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

§ ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

§ ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

§ ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

2. Производная сложной функции: если ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируема в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то сложная функция ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируема в точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и справедлива формула:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ,

т.е. производная сложной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru равна произведению производной внешней функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru на производную внутренней функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Замечание. Правило нахождения производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для вычисления производной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , если ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru дифференцируемы, справедлива формула:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

Функция ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru Производная ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru
ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Рассмотрим решение примеров.

Пример № 1.

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

Пользуясь таблицей производных и свойствами производных, имеем:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример № 2.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример № 3.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример № 4.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение. Так как функция ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru является сложной вида ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , где ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то имеем:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример № 5.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Производные высших порядков

Пусть функция ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru задана на ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru и в каждой точке ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru существует ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Тогда мы имеем новую функцию ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , заданную на ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , называемую производной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Значит, имеет смысл говорить о производной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то есть о ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru или о второй производной от функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , которая обозначается ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . И, обобщая данную ситуацию, можно сказать, что производной ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru -го порядка от функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru называется производная от ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru -ой производной функции ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru

Дифференцирование некоторых функций

Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru определяет ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru как неявную функцию от ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . В дальнейшем будем считать эту функцию дифференцируемой.

Продифференцировав по ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru обе части уравнения ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , получим уравнение первой степени относительно ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Из этого уравнения легко находится ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. производная неявной функции.

Пример № 1.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru из уравнения ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

Так как ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru является функцией от ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , то будем рассматривать ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru как сложную функцию от ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Следовательно, ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru . Продифференцировав по ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru обе части данного уравнения, получим: ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , т.е. ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Пример № 2.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru из уравнения ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

Дифференцируя по ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru обе части уравнения, получим:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ,

т.е. ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Перенесём в одну сторону равенства все слагаемые, содержащие ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , тогда:

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ,

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ,

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Дифференцирование степенно-показательной функции: ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Чтобы вычислить производную данной функции применятся специальный прием: предварительно прологарифмируем данное равенство по основанию ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , а затем продифференцируем по аргументу ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru , учитывая, что функция ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru сложная.

Пример № 3.

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

наконец: ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Замечание. Способ дифференцирования функции предварительным логарифмированием также эффективен при нахождении производной функции, являющейся произведением или частным нескольких функций.

Пример № 4.

Найти производную ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru :

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ; ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru ;

ІІ. Дифференциальное исчисление - student2.ru .

Наши рекомендации