Парный, частный и множественный коэффициент корреляции

Выполним корреляционный анализ множественной модели. Для этого рассчитаем матрицу выборочных парных коэффициентов корреляции, используя формулу (12). Для модели, в которой используются две факторные переменные, матрица выборочных коэффициентов имеет вид:

. (34)

Во множественных моделях необходимо проверить модель на мультиколлинеарность. Под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Один из подходов выявления мультиколлинеарности является анализ матрицы парных коэффициентов корреляции и выявление пар факторов, имеющих высокие коэффициенты корреляции.

Показатели парной корреляции – r_yx характеризуют тесноту связи результата и фактора, не принимая во внимание возможного влияния на результат других факторных признаков. Поэтому во множественном регрессионном анализе возникает проблема определения тесноты связи между двумя признаками в чистом виде, т.е. при устранении воздействия других факторов. Нам под силу исключить влияние только учтенных в модели факторов.

Показателем «чистого» влияния фактора на результат при устранении влияния прочих факторов, включенных в модель регрессии, является частный коэффициент корреляции или частный индекс корреляции (в зависимости от формы связи).

Частные коэффициенты корреляции для двухфакторной модели рассчитываются по формуле.

; (35)

. (36)

Коэффициент множественной корреляции вычисляют по формуле:

(37)

Оценку адекватности множественной модели производим по формулам (18), (21).

Моделирование одномерных временных рядов

Основные понятия и определения

В современной экономике и в бизнесе без прогноза не обойтись. Любое серьезное решение, в особенности связанное с вложением денег, требует прогноза, предвидения развития экономической ситуации.

Имеется два подхода к прогнозированию. Первый – использование методов качественного прогнозирования. Эти методы применимы в тех ситуациях, когда данные за прошедшие периоды времени недоступны и/или ненадежны, например, при прогнозировании объема продаж совершенно нового товара, не существовавшего ранее на рынке. Второй подход – использование количественных методов. В этом случае данные за прошедшие периоды времени доступны для исследователя.

Информационной базой для анализа экономических процессов являются динамические и временные ряды. Совокупность наблюдений некоторого явления (показателя), упорядоченная в зависимости от последовательности значений другого явления (признака), называют динамическим рядом. Динамические ряды, у которых в качестве признака упорядочения используется время, называют временными.

В экономике и бизнесе временные ряды – это очень распространенный тип данных. Во временном ряде содержится информация об особенностях и закономерностях протекания процесса, а статистический анализ позволяет выявить закономерности и использовать их для оценки характеристик процесса в будущем, т.е. для прогнозирования.

Временной ряд – это набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие временной ряд и получающиеся в результате наблюдения за ходом некоторого процесса, называются уровнями временного ряда, или элементами. Интервал между двумя последовательными моментами времени называют тактом (шагом, квантом). Под длиной временного ряда понимают количество входящих в него уровней n. Временной ряд обычно обозначают Y(t), или y_t, где t = 1, 2, … n.

Формально задача прогнозирования сводится к получению оценок значений ряда для некоторого периода будущего, т.е. к получению значения Y_{прогноз}(t), где t = n + 1, n + 2, … При использовании методов экстраполяции исходят из предположения о сохранении закономерностей прошлого развития на период прогнозирования. Во многих случаях (но не всегда!) при разработке оперативного (до года) и краткосрочного (до 2 лет) прогноза эти предположения являются справедливыми.

Статистические методы исследования исходят из предположения возможности представлять уровни временного ряда в виде суммы нескольких компонент, отражающих закономерность и случайность развития, в частности, в виде суммы четырех компонент:

Y(t) = f(t) + S(t) + U(t) + E(t), (38)

где f(t) – тренд (долговременная тенденция) развития;

S(t) – сезонная компонента;

U(t) – циклическая компонента;

E(t) – остаточная компонента.

В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную. Под детерминированной составляющей временного ряда у₁, у₂, …, y_n понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t. Исключив детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может в одном предельном случае представлять случайные скачки, а в другом – плавное колебательное движение.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты.

1. Тренд, или тенденция f(t), представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. В качестве примера таких факторов в экономике можно назвать:

а) изменение демографических характеристик популяции (численности, возрастной структуры);

б) технологическое и экономическое развитие;

в) рост потребления.

Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции F_тр(t) (аргументом которой является время), как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда, или просто – трендом.

2. Сезонная компонента S(t) связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регулярные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года. Типичные примеры сезонного эффекта: изменение загруженности автотрассы в течение суток, по дням недели, временам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа – начале сентября. Сезонная компонента со временем может меняться либо иметь плавающий характер.

3. Циклическая компонента U(t) – неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды. Примером циклической (конъюнктурной) компоненты являются волны Кондратьева, демографические «ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать формальными методами, исходя • только из данных изучаемого ряда,

4. Случайная составляющая E(t) ряда отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и может иметь разнообразную структуру, начиная от простейшей в виде «белого шума» до весьма сложных, описываемых моделями авторегрессии и скользящего среднего.

Основная цель статистического анализа временных рядов - изучение соотношения между закономерностью и случайностью в формировании значений уровней ряда, оценка количественной меры их влияния. Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, используются для прогнозирования его значений в будущем, а учет случайности позволяет определить вероятность отклонения от закономерного развития и его возможную величину.