Прохождение частиц через потенциальный барьер

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины. По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера , частица беспрепятственно проходит над барьером (на участке лишь уменьшается скорость частицы, но затем при снова принимает первоначальное значение) Если же Е меньше (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай . В этом случае уравнение имеет вид

для областей I и III и

для области II, причем

Будем искать решение уравнения (26.1) в виде (см. § 52 1-го тома). Подстановка этой функции в (26.1) приводит к характеристическому уравнению:

Отсюда , где

Таким образом, общее решение уравнения (26.1) имеет вид

Решив подстановкой уравнение (26.2), получим общее решение этого уравнения в виде

Здесь

Заметим, что решение тзида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси а решение вида — волне, распространяющейся в противоположном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении возрастания описывается вещественной частью выражения а волна, распространяющаяся в направлении убывания — вещественной частью выражения Частице, движущейся в положительном направлении оси сопоставляется функция (см. формулу (21.6)). Если отбросить в этой функции временной множитель, то для получится выражение Для частицы, движущейся в противоположном направлении, получится

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент в выражении (26.4) для следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция Для того чтобы была непрерывна во всей области изменений х от до должны выполняться условия: Для того чтобы была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: Из этих условий вытекают соотношения:

Разделим все уравнения на и введем обозначения:

а также

Тогда уравнения (26.7) примут вид

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).

Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением:

Умножим первое из уравнений (26.9) на i и сложим с третьим. В результате получим:

Теперь умножим второе из уравнений (26.9) на i и вычтем его из четвертого. Получим:

Решив совместно уравнения (26.11) и (26.12), найдем, что

Наконец, подставив найденные нами значения во второе из уравнений (26.9), получим выражение для :

Величина

обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для слагаемым, содержащим множитель можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель (комплексные числа и имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить

Согласно (26.10) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что получим:

Где

Выражение имеет величину порядка единицы. Поэтому можно считать, что

Из полученного нами выражения следует, что вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превышения над Е, т. е. от . Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным , т. е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины . Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы .

Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной фермы (рис. 26.2) формула (26,13) должна быть заменена более общей формулой:

где

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 26.2), в связи с чем рассмотренное нами явление называют туннельным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле ). Однако туннельный эффект — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Т, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс . Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию 0, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и U. Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и V. Ясно, что в этом случае заключение об отрицательности Т «внутри» туннеля становится беспочвенным.