Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим 2 случая: классический и квантовый. (Анимации). В квантовомеханическом случае возможен туннельный эффект. Вводится коэффициент прозрачности барьера:

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (10)

(10) дает вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потенциальный барьер. По аналогии с оптикой вводится и коэффициент отражения R=1-D.

Для прямоугольного барьера

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (11)

Для произвольного барьера

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (12)

Туннельный эффект имеет место, когда D не слишком мала, т.е. показатель степени близок к 1. Это возможно при ℓ порядка атомных размеров.

Пример: U-E ≈ 10 eV, me ≈ 10-30 kg, ℓ ≈ 10-10 м , степень ≈ 1 и D ≈ 1/e.

Парадокс туннельного эффекта: Если E‹ U, то Екин ‹ 0. Но туннельный эффект чисто квантовое явление и, кроме того, Е ≠ Ек + Ер из-за соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике. Нулевая энергия.

Линейный гармонический осциллятор- система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Потенциальная энергия гармонического осциллятора Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru , Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru - собственная частота, m- масса частицы. Зависимость имеет вид параболы, т.е. «потенциальная яма» в данном случае явл. параболической.

Тогда стационарные состояния квантового осциллятора опред. у-нием Шредингера Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru , Е- полная энергия.

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru - энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . Существование минимальной энергии – она наз. Энергией нулевых колебаний – является типичной для квантовых систем и представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Атом водорода

1885, Формула Бальмера: Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru

R = 2,07.1016 c-1 .

Обобщенная формула Бальмера: Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru , (13)

где n = m + 1,…

Квантовомеханическая задача: Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru .

Уравнение Шредингера:

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (14)

Решение для стандартных условий:

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (n = 1,2,3…) (15)

При n = 1 (основное состояние атома): Е1 = - 13,6 эВ.

Собственные функции:

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (16)

При данном n: ℓ = 0,1,2,…, n-1

При данном ℓ: m = - ℓ, - ℓ+1, -1, 0, 1,… ℓ-1, ℓ - всего (2 ℓ + 1) значений.

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru Энергия зависит только от n. Следовательно, каждому Еn соответствует несколько собственных функций Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru с разными ℓ и m. Разные состояния с одинаковой энергией называются вырожденными.

Кратность вырождения

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . (17)

Возможные состояния электронов:

1s

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f и т.д.

Правило отбора: Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru . Показать схему переходов.

В дальнейшем было теоретически доказано и подтверждено экспериментами существование у электрона (и других элементарных частиц) собственного момента импульса LS, который не связан с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином. Спин следует считать внутренним свойством, присущим электрону, подобно тому, как ему присущи заряд или масса.
Модуль собственного момента импульса электрона определяется спиновым квантовым числом S, равным 1/2 :

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru , (29)

Проекция спина на ось z может принимать значения

Прохождение частицы через потенциальный барьер - student2.ru (ms=±s= ±1/2 , (30)

где ms - спиновое квантовое число.

44В классической механике частицы одинаковой природы можно различать. В квантовой механике в силу принципа неопределенности понятие траектории частицы утрачивает смысл. Поэтому следить за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их невозможно. Таким образом, в квантовой механике частицы одинаковой природы полностью теряют свою "индивидуальность" - они оказываются неразличимыми.
Принцип неразличимости одинаковых частиц приводит к глубоким физическим следствиям. Оказывается, что частицы с целым или нулевым спином (бозоны) могут находиться в пределах данной системы в одинаковом состоянии в неограниченном количестве. Частицы с полуцелым спином (фермионы) согласно принципу Паули могут находиться в квантовых состояниях только поодиночке.
Принцип Паули (1925 г.)утверждает, что в одном и том же атоме (квантовой системе) не может быть двух электронов (либо других частиц с полуцелым спином), обладающих одинаковой совокупностью квантовых чисел. Иными словами, в одном и том же состоянии не могут находиться одновременно два электрона.
Принцип Паули дает объяснение периодической повторяемости свойств атомов в периодической системе элементов Д.И. Менделеева.

Наши рекомендации