Распределение стьюдента

ОШИБКА РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ

Выборочные характеристики – средняя арифметическая (х_{n сред}), среднее квадратическое отклонение (s _n ) и другие величины случайные, варьирующие вокруг своих генеральных параметров (параметров генеральной совокупности) – генеральной средней (х _{N сред}), дисперсии ( s_N²) или стандартного отклонения (s_N).

Выборочные характеристики рассматриваются как приближённые значения соответствующих генеральных параметров, которые, как правило, остаются неизвестными. Так выборочная средняя (х_{n сред}) служит оценкой генеральной средней (х_{N сред}),выборочная дисперсия (s_n²) является оценкой дисперсии генеральной (s_N²), а среднее квадратическое отклонение (s_n) рассматривается в качестве оценки стандартного отклонения (s_N) – генеральной совокупности, которая мыслится как совокупность неограниченно большого объёма.

Как правило, выборочные характеристики не совпадают по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами, это связанно с применением выборочного метода исследования, когда по выборке судят о всей генеральной совокупности.

Представления о расхождении между выборочными и генеральными параметрами можно получить непосредственно из данных выборки, для этого существует стандартная мера.

Ошибка репрезентативности – это стандартная мера возможного отклонения выборочного параметра от параметра генеральной совокупности.

Ошибка репрезентативности (представительности), или статистическая ошибка (+ - m или s) – своей величиной показывает, насколько выборочные данные измерений ошибочно представляют, в среднем, отклонение рассчитанное по ним параметра (показателя) от истинного значения на генеральной совокупности данных.

Статистические ошибки – это не ошибки, допущенные при измерении. Они возникают исключительно во время отбора вариант из генеральной совокупности и к ошибкам измерений отношения не имеют. Единственная причина возникновения ошибки репрезентативности – не сплошной, а выборочный характер исследования (n # N), и единственный способ уменьшения ошибки – увеличение объёма выборки.

Величина ошибки репрезентативности измеряется средним квадратическим отклонением, которая является не только характеристикой варьирования того или иного признака, но и служит мерой «ошибки» отдельных вариант, если они используются в качестве оценки генеральных параметров.

Ошибка репрезентативности может быть рассчитана для каждого статистического параметра:

1. Ошибка репрезентативности для средней арифметической величины + - m_{x сред} = s / Ö n , где s - истинное стандартное отклонение, n - объём выборки, или число измерений;

2. Ошибка репрезентативности для среднего квадратического отклонения + - m_s = s / Ö 2n.

Если по величине среднего квадратического отклонения можно судить о величине отдельных показателей (вариант) от выборки х_{n сред} + - s_n , то по величине ошибки репрезентативности возможно оценить отклонение показателей выборки от генеральной совокупности: х_{n сред} + - m_{x сред}.

Таким образом, ошибка репрезентативности не есть разность х_{N сред} – х_{n сред} , это стандартный промежуток , позволяющий оценить интервал, в котором находится истинный параметр генеральной совокупности (х_{N сред}).

Статистические ошибки характеризуют варьирование выборочных показателей вокруг их генеральных параметров. Они обладают теми же свойствами, что и среднее квадратическое отклонение. Лишь одно свойство специфично для ошибок репрезентативности: они уменьшаются при увеличении объёма выборки, т.е. при n стремящемся к бесконечности, m_{х сред} – стремится к нулю. Это свойство статистических ошибок обусловлено действием закона больших чисел, по которому наиболее вероятный результат получается при наибольшем числе испытаний. Отсюда понятно значение ошибки: она указывает на точность, с какой выборочные показатели репрезентируют генеральные параметры. Чем меньше ошибка, тем ближе выборочная характеристика к величине генерального параметра, и, наоборот, чем больше ошибка, тем менее точно репрезентирует выборочная характеристика её генеральный параметр. Следовательно, по свойству статистической ошибки, которая при n стремящемся к бесконечности стремится к нулю, можно судить о состоятельности оценок.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

Практическое применение формулы Гаусса-Лапласа, описывающей закон нормального распределения, затрудняется тем, что в неё в качестве аргументов входят генеральные параметры х_{N сред} и s_N, которые обычно остаются неизвестными.

Английский учёный Вильям Госсет (1908), печатавшийся под псевдонимом Стьюдент, нашёл закон распределения величин t = (х_{n сред} – х_{N сред}) / s_N / Ö n, в которых генеральный параметр s_N заменён на его выборочную оценку s_n , т.е. t_st = (x_{n сред} – x_{N сред} ) / s_n / Ö n Þ t_st = (x_{n сред} – x_{N сред}) / m_{x сред} , где x_{n сред} – выборочная средняя, x_Nсред – истинная (генеральная средняя), m_{x сред} – ошибка репрезентативности. Для конструкции t_st Стьюдент установил формулу теоретического распределения, предполагая, что сами выборочные параметры распределяются по закону Стьюдента: W( t ) = C (1 + t² / n-1) – (n-1 / 2)где С – константа, зависящие только от числа степеней свободы (n-1).

Закон Стьюдента, в дальнейшем уточнённый Фимером (закон Стьюдента – Фимера) – основа «теории малой выборки», он характеризует распределение выборочных средних в нормальной генеральной совокупности в зависимости от объёма выборки, а t – распределение зависит только от двух величин: нормированного отклонения t и числа степеней свободы (n-1). С увеличением числа наблюдений, t – распределение приближается к нормальному с параметрами s_N = 0 и s_N = 1, и уже при n >= 30 не отличается от него. Это наглядно может быть представлено на рисунке, где на фоне нормальной кривой (сплошная линия) нанесены кривые t – распределения при n = 30 (пунктирная линия) и при n = 3 (штриховая линия).

W (t) -3t –2t -t X=0 t 2t 3t tst – График распределения Стьюдента.

W ( t ) – плотность вероятности появления t в конкретной выборке;

T – распределение Стьюдента представляет частный случай нормального распределения, оно симметрично и отражает специфику распределения малой выборки по нормальному закону в зависимости от её объёма n. Для выборок n >=30 величина t распределяется нормально, тогда как при n < 30 распределение t зависит от числа наблюдений n, т.е. следует закону Стьюдента. Для практического использования t – распределения составлена специальная таблица: «Критические значения t – критерия Стьюдента для трёх уровней значимости (0,05; 0,01; 0,001) и чисел степеней свободы». В данной таблице содержатся критические значения t для разных уровней значимости (Р₀) и чисел степеней свободы (n-1). Как пользоваться этой таблицей при использования t- критерия при проверке статистических гипотез, будет показано при рассматривании приведённых ниже примеров.