Выборка из нормального распределения. Представление Хи-квадрат распределения с помощью нормальных. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора. Лемма Фишера.

Пусть выборка из N(0, 1).

Введем некоторые распределения , используемые в матстатистике.

Рассмотрим случайную величину . Говорят что имеет -распределение(или распределение Пирсона ) с n степенями свободы. Плотность распределения величины имеет вид

где - гамма – функция Эйлера, определяемая равенством

Семейство -распределение является подмножеством двухпараметрического семейства гамма-распределений Г(b,p), p,b 0, с плотностями

При b=1/2, p=n/2, n N. Известное свойство , что сумма двух независимых гамма-распределений Г(b,p) и Г(b,q) снова имеет гамма-распределение Г(b,p+q) , здесь следует непосредственно из представления в виде суммы квадратов незвис нормальных величин.

Пусть сл. в. Y независима от . Рассмотрим случайную вел-ну Распределение величины T_n называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Соответствующая плотность распределения имеет вид

Отметим , что плотность распределения Стьюдента симметрична относительно нуля.

Распределения Фишера-Снедекора F(n₁,n₂) определяется как распределение сл. в. независимы и распределены как и . Плотность распределения Фишера- Снедекора представляется в виде

Лемма Фишера.

Пусть X₁,X₂,…X_n - выборка из нормального распределения N(a, σ²). Тогда

1) ;

2) и S²– независимы

3) имеет -распределение с (n-1) степенью свободы;

4) имеет распределение Стьюдента с (n-1)степенью свободы.

Постановка задачи доверительного оценивания. Общий метод построения доверительных интервалов. Примеры построения доверительных интервалов для параметров нормального закона (случай одной и двух выборок) (Л-П)

До сих пор мы говорили о точечном оценивании параметров. Будем строить множество: пусть - статистический эксперимент. Доверительной оценкой параметра уровня значимости (или 1ровня доверия ) называется статистика Ĥ: , где С –некоторая совокупность подмножества Ĥ,

; мн-во, построенное по результатам наблюдений, кот. с вероятностью накрывает истинное значение параметра

Замечание: необходимо накладывать какое-либо ограничение на множество С. Пусть (одномерный параметр), С – совокупность интервалов

. В этом случае доверительная оценка - доверительный интервал.

Альтернативное определение: Доверительный интервал уровня значимости наз-ся пара статистик T₁, T₂ : ; .

Основные методы построения ДИ. Пусть удается найти функцию

а) Распределение не зависит от параметра

б) ,тогда - интервал

в) Распределение - известно, т.е. можно найти

Примеры построения доверительных интервалов для параметров нормального закона :

Пример: Нормальное распределение. Пусть х₁…х_n – выборка из N(a, ) распределения. Построить ДИ для а, если - неизв. Выберем , не зависящую от второго параметра.

Решение: . По лемме Фишера имеет распределение Стьюдента: . Выберем : (используя таблицу,

Находим . Т.о.

S-выб.дисперсия. ДИ

2. Строим ДИ для (а – неизв); по п.3 лемме Фишера:

. Очевидно, что , может быть выбраны неоднозначно. Решение Х² {рисунок}

Длина ДИ характеризует точность оценки. В случае Стьюдента построенный доверительный интервал кратчайший. Для - более сложная задача, поэтому находят ДИ из условий ; . Решение задачи . {Если нет априорной информации, нужно брать 2-сторонний интервал, если есть – односторонний}

Пусть - независимые. - неизвестна (мешающий параметр). Построим ДИ для a-b. Согласно лемме Фишера:

Т.о.

По лемме Фишера п.3

ДИ: для параметра (a-b) {считается что задано}

Построим ДИ.

4. ДИ для

П.3 леммы Фишера : ; По замечанию к лемме Фишера получим - распределение Снедекора

- ДИ для

Примечание к примеру 3: мешающий параметр - одномерный, если , т.е. могут быть разные, т.е. мешающий – двумерный, то задача не решена, проблема Беренса-Фишера

{рисунок}

Доверительная оценка Ĥ называется состоятельной, если она стягивается в точку.

Если Ĥ- ДИ, то состоятельность равносильна тому, что .

В примерах 1-4 ДИ – состоятельные (т.к. в нормальных законах)

Пример5: Пусть x₁…x_n – выборка из ; - функция распределения х_1. Пусть при фиксиров. х – монотонная функция от . Тогда в качестве . Отметим ; , где - функция распределения

Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотических доверительных интервалов на базе асимптотически нормальной оценки параметра. Построение доверительных интервалов на базе ОМП в регулярном случае. Пример (Распределение Бернулли).

Определение: Послед-ть областей

- ас.д.область уровня α для θ,

если

Если - ас.д.и.

Замечание:

если - ас.д.и.ур.α

Способ построения:

Найти , т.ч.

а)

б)

Построение ас.д.и. на базе ас.норм.оценки

Пусть δ – ас.норм.оценки, т.е.

т.е.

Пусть

Если удастся выразить θ из то находим д.и. в противном случае

Пусть δ^к(θ) – состоят. оценка для δ(θ)

(δ(θ) ¹0) тогда

Пример: (распр. Бернулли)

x₁…x₂ – выборка из B_i (1,θ)

-------------------------------------------------------------------------

Интегральная теорема Муавра-Лапласа(ИТМЛ):

-------------------------------------------------------------------------

Итак

Находим х₂. Решаем:

АДИ (асимпт, доверит, интервал)

б) Вернемся

- сост. оценка для

Пусть

Решаем

в)

тогда АДИ