Вырожденный электронный газ. Его теплоемкость.

q Имея ввиду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить об электронном газе; соответственно этому мы полагаем g=2 (спин s = 1\2 )

q Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный Ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергией 0, наименьшей (равной нулю) до некоторой большей величины, которая определяется числом электронов в газе

q Электроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения p=p_F; об этом значении говорят, как о радиусе Ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях::
для электронов g=2
откуда для граничного импульса имеем: ®
и для граничной энергии:

q Химический потенциал газа при T=0 совпадает с граничной энергией электронов m = e_F

q Полная энергия газа получится умножением числа состояний на p`/2m и интегрированием состояния газа: ®
таким образом, давление по всем импульсам:

q Уравнение Ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.

q Полученные формулы применимы также и при температурах, достаточно близких к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие сильного вырождения газа) требует, малости Т по сравнению с e_F. T<< h²/m (N / V)^2/3.
Это условие противоположно условию применимости статистики Больцмана. Температуру T_p » e_F называют температурой вырождения.

q Теплоемкость вырожденного идеального газа.
(c_V = c_p)

(19) .

10) Вывод термодинамических соотношений
из распределения Гиббса..

q Применение теоремы Лиувилля позволяет сделать заключение о том, что логарифм функции распределения подсистемы должен быть линейной функцией ее энергии: lnw_n = a + b E_n , причем коэффициенты b одинаковы для всех подсистем данной замкнутой подсистемы. Отсюда
w_n = exp(a + b E_n). Если ввести формальным образом обозначение
b = -1/ kT, a = F / T, то это выражение совпадает по форме с распределением Гиббса. Величина Т, а потому и b должна быть одинаковой для всех частей находящейся в равновесии системы. Далее должно быть b < 0 т.е. Т > 0. В противном случае нормировочная сумма Sw_n неизбежно разойдется.
Для вывода количественного соотношения исходим из условия нормировки _nS exp[ (F – E_n) / kT ] = 1. Продифференцируем это равенство, рассматривая его левую сторону как функцию Т и некоторых величин l₁, l₂,… характеризующих внешние условия, в которых находится рассматриваемое тело. Уровни энергии E_n зависят от значений l₁, l₂,…, как от параметров. Производя дифференцирование пишем:
(для краткости рассматриваем здесь всего один внешний параметр l).
Отсюда:

В левой стороне равенства Sw_n = 1, а в правой

Учитывая также, что F – Ē = - TS и что ¶ E_n / ¶l = ¶ Ĥ / ¶l, получаем окончательно dF = - S dT + (¶ Ĥ / ¶l) dl. Это и есть общий вид термодинамического тождества для свободной энергии.

q Таким же образом может быть получено и распределение Гиббса с переменным числом частиц. Если рассматривать число частиц, как динамическую переменную, то ясно, что оно тоже будет (для замкнутой системы) «интегралом движения» и к тому же аддитивным. Поэтому надо будет писать: lnw_nN = a + b E_n + gN, где g, как и b, должно быть одинаковым для всех частей равновесной системы. Положив a = W / kT, b = -1 / kT,
g = m / kT, мы получим распределение вида w_nN = exp[(W + mN – E_nN) / kT] После чего тем же способом как и выше, можно получить термодинамическое тождество для потенциала W.