Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по квантовым состояниям подчиняется принципу Паули. Следовательно, по квантовой теории электроны в металле не могут располагаться на низшем энергетическом уровне даже при 0К. Принцип Паули заставляет электроны подниматься вверх по "энергетической лестнице".

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru - химический потенциал электронного газа при Т=0К, то:

Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru

Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru Отсюда следует, что при Т=0К <N(E)> =1 (<N(E)> - среднее число электронов в квантовом состоянии на уровне с энергией Е), если E £ m0 и <N(E)> = 0, если E>m0 , рис.64. Это означает, что при Т=0 все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией Е = m0 ,заполнены электронами, а все состояния с Е > m0 свободны. Следовательно, m0 - это максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при T = 0K. Эту максимальную энергию называют - энергия Ферми - E F (EF = m0). Поэтому обычно записывают:

Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне.

Уровень Ферми будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна "потенциальной ямы", как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru . Т.е. электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура вырождения Т0 находится из условия Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Расчеты показывают, что Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru - для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ вырожден. При T>0K функция распределения Ферми-Дирака, рис.65, плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF .Это обу Вырожденный электронный газ в металлах - student2.ru словлено тем, что при Т > 0K небольшое число электронов с энергией, близкой к Е, возбуждается за счет теплового движения, и их энергия становится меньше энергии Ферми. Соответственно, вблизи границы Ферми при Е < ЕF среднее число электронов меньше единицы, а при Е > EF больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое количество электронов.

Если (E - EF) >> kT, то единицей в знаменателе можно пренебречь и тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана. Т.о., при (E-EF)>>kT, т.е. при высоких температурах, к электронам в металле применима классическая статистика, а при (E-E F)<<kT - только квантовая статистика Ферми-Дирака.

Наши рекомендации