Тема 4. АБСОЛЮТНЫЕ, ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Абсолютные величины
Абсолютными статистическими величинами называют показатели, выражающие размеры количественных признаков конкретных общественных явлений.
Абсолютные показатели являются всегда именованными числами, т.е. имеют какую-либо единицу измерения.
Натуральные единицы измерения применяют в тех случаях, когда единица измерения соответствует потребительским свойствам продукта. Например, производство молока оценивается в тоннах, тканей – в квадратных метрах, автомобилей – в штуках и т.д.
Натуральные единицы могут быть и составными (сложными). Например, отработанное рабочими время учитывается в человеко-часах и человеко-днях, грузооборот автомобильного и железнодорожного транспорта – в тонно-километрах и т.п. Составные единицы отражают сочетание двух различных сторон явления. Так, при учете затрат рабочего времени отражаются совместное измерение численности рабочих и времени их работы, при определении объема работы транспорта – измерение объема грузов и расстояния перевозок.
Если некоторые разновидности продукции обладают общностью основного потребительского свойства, обобщенные итоги по выпуску этих разновидностей продукции можно получить, используя условно-натуральные единицы. В этом случае одна из разновидностей принимается в качестве единого измерителя, а другие приводятся к этому измерителю с помощью соответствующих коэффициентов пересчета. Например, в тоннах условного топлива определяется общий объем потребленного на предприятии топлива и т.п.
При обобщении учетных данных даже на уровне предприятия, а тем более на уровне отраслей народного хозяйства широко используются стоимостные (денежные) единицы измерения. Для получения общего объема продукции в денежном выражении количество единиц каждого вида продукции в натуральном выражении умножается на цену соответствующего вида, а затем полученные произведения суммируются по всем видам. При определении стоимостных показателей объема продукции абсолютные величины получаются расчетным путем. Тем более это касается определения таких обобщающих показателей, как чистая продукция промышленности, прибыль, объем валового национального продукта и др.
Таким образом, абсолютные величины получают непосредственным подсчетом данных статистического наблюдения или расчетным путем.
Относительные величины
Относительными статистическими величинами называют обобщающие показатели, характеризующие количественные отношения общественных
явлений.
Сопоставление статистических данных осуществляется в различных формах и по разным направлениям. В соответствии с различными задачами и направлениями сопоставления статистических данных применяются различные виды статистических величин, классификация которых представлена на рис. 4.1.
Как видно из приведенной классификации, сопоставлять можно одноименные показатели, относящиеся к различным периодам, различным объектам или разным территориям. Результат такого сопоставления может быть представлен коэффициентом (база сравнения принята за единицу) или выражен в процентах и показывает, во сколько раз или на сколько процентов сравниваемый показатель больше или меньше базисного.
В результате соотношения одноименных показателей получают следующие относительные величины: относительные величины динамики; относительные величины выполнения плана и планового задания; относительные величины структуры; относительные величины координации; относительные величины наглядности.
Относительная величина динамики характеризует изменение явления во времени и показывает, во сколько раз увеличился (или снизился) уровень показателя по сравнению с каким-либо предшествующим периодом.
Рис. 4.1. Классификация относительных величин
Относительной величиной динамики называют отношение уровня показателя на данный момент или за некоторый период к аналогичным значениям за предыдущее время. Данный показатель рассчитывается по формуле:
(4.1)
где ОВД – относительная величина динамики; y1 – фактический уровень показателя в отчетном периоде; y0 – фактический уровень показателя в базисном периоде.
Пример.Число учащихся в высших учебных заведениях Гомельской области в 2001 – 2004 гг. характеризуется следующими данными (табл. 4.1). Рассчитайте относительные показатели динамики с постоянной и переменной базой.
Таблица 4.1. Число учащихся в высших учебных заведениях Гомельской области
| Показатель | ||||
| Число учащихся, тыс. чел. | 301,8 | 320,7 | 337,8 | 362,9 |
Для расчета относительных показателей динамики с постоянной и переменной базой будем использовать формулу (4.1), только в первом случае в качестве 
будем использовать число учащихся в 2001 году, а во втором случае – число учащихся предыдущего года.
Расчеты представим в виде табл. 4.2.
Таблица 4.2. Расчет относительных показателей динамики с постоянной и переменной базой
| Постоянная база сравнения | Переменная база сравнения |
   |   |
Как видно из расчетов темпы роста учащихся высших учебных заведений по отношению к 2001 году имели положительную тенденцию.
Относительной величиной планового задания называют отношение величины показателя, устанавливаемого на плановый период, к величине данного показателя, принятого за базу сравнения. Данный показатель показывает, во сколько раз или на сколько процентов должна увеличиться (уменьшиться) величина по плану в сравнении с его уровнем в предшествующем периоде. Данный показатель рассчитывается по формуле:
(4.2)
где ОВПЗ – относительная величина планового задания; yпл – планируемый уровень показателя на отчетный период.
Относительной величиной выполнения плана (ОВВП) называют отношение величины фактического уровня показателя к плановому уровню данного показателя:
(4.3)
Данный показатель показывает, во сколько раз или на сколько процентов было перевыполнено (недовыполнено) плановое задание в отчетном периоде.
Пример.Оборот торговой фирмы в 2004 г. составил 2,0 млн. руб. Исходя из проведенного анализа складывающихся на рынке тенденций руководство фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 2,8 млн. руб. Фактический оборот фирмы за 2003 г. составил 2,6 млн. руб.
Рассчитайте относительную величину планового задания и относительную величину выполнения плана.
Для расчета относительной величины планового задания воспользуемся формулой (4.2):
Для расчета относительной величины выполнения плана воспользуемся формулой (4.3):
Как видно из расчетов торговая фирма планировала в 2003 году увеличить объем оборота на 40%. Однако плановое задание было недовыполнено на 7,1%.
В ряде случаев расчет относительной величины выполнения плана может выполняться по методу нарастающего итога. Так, оценка выполнения квартального плана по объему продукции производится по данным, взятым нарастающим итогом с начала квартала, оценка выполнения годовых планов – нарастающим итогом с начала отчетного года. Расчет процента выполнения плана по объему продукции нарастающим итогом (ПВП) рассчитывается по формуле:
(4.4)
где 
и 
– соответственно фактический и запланированный объем продукции по месяцам года; n – число месяцев, за которые ведется расчет процента выполнения плана.
Пример.В табл. 4.3 показан пример расчета процента выполнения плана нарастающим итогом.
Таблица 4.3. Объем розничного товарооборота (РТО) предприятия за I-е полугодие 2004 г.
| Месяц | Объем розничного товарооборота, млн. руб. | Объем РТО нарастающим итогом, млн. руб. | % выполнения плана по РТО | ||
| план | факт | план | факт | ||
| 6 = гр.5 / гр. 4 | |||||
| Январь Февраль Март Апрель Май Июнь | 97,0 98,5 100,0 102,2 101,2 101,0 |
По данным примера, невыполнение плана (см. гр. 6 табл. 4.3) имело место в январе и феврале, а за I-й квартал плановое задание было выполнено на 100%, в целом же за I-е полугодие план был перевыполнен на 1,0%.
Относительные величины структуры характеризуют долю отдельный частей в общем объеме совокупности, их рассчитывают как отношение числа единиц (или объема признака) в отдельных частях совокупности к общей численности единиц (или объему признака) по всей совокупности. Относительные величины структуры рассчитываются по сгруппированным данным. Например, в составе промышленно-производственного персонала выделяются четыре категории: рабочие, руководители, специалисты и служащие. Анализ показателей доли (удельного веса) каждой категории в составе промышленно-производственного персонала позволяет сопоставлять состав работников по категориям на различных предприятиях отрасли, в различных отраслях и т.д.
Пример.Рассмотрим табл. 4.4. Рассчитанные в последней графе табл. 4.4 проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае – удельные веса). Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100%.
Таблица 4.4. Структура промышленно-производственного персонала ОАО «Эдем»
| Показатель | Численность | |
| человек | % к итогу | |
| ППП – всего в том числе: § рабочие § руководители § специалисты § служащие |
Относительной величиной координации называют соотношение частей целого между собой. К таким величинам относятся, например, показатели, характеризующие соотношение между численностью городского и сельского населения, между численностью мужчин и женщин и т.д. Относительные величины координации нередко характеризуются числом единиц одной части на 100 или 1000 единиц другой части. Например, рассчитывается сколько безработных приходится на 1000 человек занятых в экономике.
Относительные величины наглядности отражают результаты сопоставления одноименных показателей, относящихся к одному и тому же периоду (или моменту времени), но к разным объектам или территориям. Этот вид относительных показателей применяется для сравнительной оценки уровня развития стран и регионов, а также при оценке результатов деятельности отдельных предприятий отрасли.
Пример. По данным за 2000 г., среднегодовая численность населения России составляла 145 млн. чел., США – 275 млн. чел., Индии – 1002 млн. чел., Китая – 1275 млн. чел. Рассчитайте относительные величины наглядности.
Таким образом, по численности населения США превышали Россию в 1,9 раза, Индия – в 6,9 раза, Катай – 8,8 раза.
Относительная величина интенсивности – это соотношение разноименных, но связанных между собой величин. Для расчета относительной величины интенсивности в числителе берется величина явления, степень распространения которого изучается, а в знаменателе – объем той среды, в которой происходит распространение данного явления. Например, показатель производства продукции на одного работающего (производительность труда).
В отличие от относительных величин, являющихся результатом сопоставления одноименных показателей и представляемых с помощью коэффициентов или процентов, относительные величины интенсивности являются именованными числами (в нашем случае производительность труда может измеряться в тыс. р. на человека).
Пример. На конец 2000 г. численность граждан, состоящих на учете в службе занятости, составляла 1037 тыс. чел., а число заявлений предприятиями вакансий – 610 тыс. Рассчитайте относительный показатель интенсивности.
Из расчетов следует, что на каждых 100 незанятых приходилось 59 свободных мест.
Средние величины
Средняя величина – это обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.
Средняя величина обобщает многие индивидуальные величины одного и того же вида. Отсюда вытекает важнейшее условие применения средних величин лишь для качественно однородных совокупностей. Важно также отметить, что средние характеристики могут быть использованы только тогда, когда они базируются на массовом обобщении данных. Только в этом случае они выявляют общую тенденцию, лежащую в основе процесса в целом, и показывают ее типичный для данного периода уровень. В этом проявляется действие закона больших чисел.
Вычисление средних в статистике отличается от их вычисления в математике, которая рассматривает возможные виды средних и способы их расчета. Вид средних в статистике подчинен социально-экономическому содержанию изучаемых явлений, и, следовательно, в каждом конкретном случае выбор вида средней должен быть обоснованным и однозначным.
Средние, используемые в статистике, относятся к двум классам: степенные средние и структурные средние.
К степенным средним величинам относятся:
1. Средняя арифметическая величина – такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:
(4.5)
где xi – индивидуальное значение признака каждой единицы совокупности; n – число единиц совокупности.
Таблица 4.5. Объемы производстватоварной продукции предприятий легкой промышленности в 2005 г., тыс. руб.
| Номер предприятия | ||||||||||
| Объем товарной продукции |
Средний объем товарной продукции предприятий легкой промышленности рассчитаем по формуле (4.5).
Если бы все единицы изучаемой совокупности развивались под действием одних общих условий и на них не действовали никакие «случайные» факторы, то величина признака у каждой единицы – индивидуальное значение объема товарной продукции – была бы одинаковой, равной 1989,9 тыс. руб.
2. Взвешенная арифметическая средняя. Рассчитывается в случае, если совокупность велика и исходная информация представляет собой ряд распределения или группировку. Взвешенная арифметическая средняя рассчитывается по формуле:
(4.6)
где fi – частота повторения индивидуального значения признака (его вес); n – число групп.
Пример. Известны результаты футбольных матчей высшей лиги России по числу забитых за матч обеими командами мячей в 2000 г. (табл. 4.6). Требуется определить среднее число мячей, забитых за одну игру.
Таблица 4.6
Распределение футбольных матчей высшей лиги России
по числу забитых за матч обеими командами мячей в 2000 г.
| Число забитых мячей | ||||||||||
| Число матчей |
Среднее число мячей забитых за одну игру, должно представлять собой результат равномерного распределения общего числа забитых мячей по всем матчам розыгрыша первенства. Для расчетов воспользуемся формулой (4.6):
В среднем за одну игру в футбольных матчах высшей лиги России в 2000 г. было забито 2,62 мяча.
Для интервального ряда используется так же формула (4.6), однако в качестве x берется середина интервала.
Пример. Имеется информация о распределении рабочих предприятия по возрасту (табл. 4.7). Необходимо рассчитать средний возраст рабочих
Таблица 4.7
Распределение рабочих предприятия по возрасту
| Группы рабочих по возрасту, лет | Число рабочих, чел |
| До 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Старше 50 | |
| Итого |
Средний возраст рабочих рассчитаем по формуле (4.6) с заменой точечных значений признака в группах серединами интервалов.
Для открытых интервалов в первой и последней группе значения признака определим экспертным путем. Так, минимальный возраст рабочих будем считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20, а максимальный возраст – 65 лет, тогда последний интервал – 50-65 лет.
Расчеты представим в виде табл. 4.8.
Таблица 4.8
Исходная информация для расчета среднего возраста рабочих
| Группы рабочих по возрасту, лет | Число рабочих, чел.  | Середина интервала  |  |
| До 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Старше 50 | (17 + 20) / 2 = 18,5 (20 + 30) / 2 = 25 (30 + 40) / 2 = 35 (40 + 50) / 2 = 45 (50 + 65) = 57,5 | ||
| Итого | – |
Средний возраст рабочих предприятия равен:
3. Средняя квадратическая величина. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной ( 
). Ее формула такова:
(4.7)
Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменную сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину рассчитывается средняя кубическая по формуле:
(4.8)
Пример. Имеется три участка земельной площади со сторонами квадрата: х1 = 100 м; х2 = 200 м; х3 = 300 м. необходимо определить среднюю длину стороны квадрата.
Для определения средней длины стороны квадрата будем использовать формулу (4.7).
4. Средняя геометрическая величина. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Которая рассчитывается по формуле:
(4.9)
Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака.
Пример. Страховая фирма заключает договоры на оказание клиентам различных услуг медицинского страхования. В зависимости от категории медицинского учреждения, ассортимента услуг, конкретного рискового случая страховая сумма выплат может изменяться от 100 до 10000 долл. год. Средняя сумма по страховке в данном случае рассчитывается по формуле (4.9) и составляет 
долл.
5. Средняя гармоническая величина. Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней. Формула ее расчета следующая:
. (4.10)
Пример. На предприятии имеется информация о группе станков по сроку службы и общий срок станков по данной группе (табл. 4.9). Необходимо рассчитать средний возраст оборудования.
Таблица 4.9
Исходная информация о возрастном составе оборудования
| Группы станков по сроку службы | Общий срок службы станков по данной группе |
| 0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 | 65,0 180,0 250,0 245,0 360,0 |
| Всего | 1100,0 |
Воспользуемся формулой средней гармонической. Для этого необходимо рассчитать средние значения срока службы станков по группам: 2,5 ((0+5)/2); 7,5 ((5+10)/2) и т.д.
Средний возраст оборудования предприятия составляет 11 лет.
Между рассмотренными выше видами средних величин имеется соотношение, которое называется правилом мажорантности средних:
. (4.11)
К структурным средним относятся:
1. Медиана. В статистике медианой называют признак, делящий численность вариационного ряда по сумме накопленных частот на две равные части. Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.
Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом:
а) индивидуальные значения признака располагаются в возрастающем порядке;
б) определяется порядковый номер медианы по формуле:
2. Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака.
Определить величину моды в первичном ряду в точном соответствии с данным правилом возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительно чаще, чем все другие значения.
Контрольные вопросы
1. Назовите виды относительных величин и охарактеризуйте их значение.
2. Как связаны между собой относительные величины выполнения плана, планового задания и динамики?
3. Какие средние относятся к степенным, а какие к структурным?
4. Чем отличается мода от медианы?
5. Какие виды степенных средних величин вы знаете? Напишите их формулы.