Кафедра «Эксплуатация транспортно-технологических машин»

Кафедра «Эксплуатация транспортно-технологических машин»

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных работ

по дисциплинам:

«Основы научных исследований»,

«Основы методики научных исследований»,

«Методология НИОКР»

для студентов специальности 190601,130602,130501

«Автомобили и автомобильное хозяйство»

«Машины и оборудование нефтяных и газовых промыслов»

«Проектирование, сооружение и эксплуатация

газонефтепроводов и газонефтехранилищ»

дневной и заочной форм обучения

Сургут 2011

Утверждено учебно-методической комиссией

Государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

Сургутского института нефти и газа (филиала)

Тюменского государственного нефтегазового

университета

Составил: доцент, канд. техн. наук Некрасов В.И.

Оформление: ст. лаборант Песчанская М.А.

Сургутский институт нефти и газа (филиал)

Тюменский государственный нефтегазовый

университет, 2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

1. Основные понятия теории вероятностей и

математической статистики 5

1.1. Относительная частота и вероятность 5

1.2. Генеральная совокупность и выборка 7

1.3. Вычисление характеристик эмпирических

распределений (выборочных характеристик).

Точечные оценки. Моменты 8

1.4. Распределение случайных ошибок измерения 11

1.5. Нормальный закон распределения 14

2. Предварительная обработка экспериментальных

данных 20

2.1. Пример статистической обработки данных.

Порядок выполнения работы 20

2.1.1. Отсев грубых погрешностей 33

2.1.2. Проверка гипотезы нормальности

распределения 36

2.2. Основные законы распределения

случайных величин 40

3.Тесты 44

Приложение 58

Литература 62

ВВЕДЕНИЕ

Современное производство требует от специалиста умения самостоятельно ставить и решать принципиально новые вопросы, чего нельзя сделать без овладения им основ научных исследований.

Научная подготовка студентов в вузах – одна из важнейших сторон их обучения.

Современный специалист должен: владеть методикой НИ(научных исследований), их планированием и организацией, уметь отбирать и анализировать необходимую информацию, формулировать цель и задачи исследования, обосновывать теоретическую базу, планировать и проводить эксперименты, обрабатывать результаты измерений, оценивать погрешность наблюдений, сопоставлять результаты эксперимента с теоретическими предпосылками, формулировать выводы НИ, составлять отчет, доклад или статью по результатам НИ.

Эксперимент занимает центральное место в науке. История развития наук состоит в нахождении перечня факторов, создании многофакторных математических моделей исследуемых явлений и их интерпретации.

Цель лабораторной работы - приобретение практических навыков статистической обработки результатов экспериментальных исследований – предварительной обработки экспериментальных данных: отсев грубых погрешностей (промахов), проверка гипотезы нормальности распределения.

Оборудование: микрокалькуляторы, персональные ЭВМ, лабораторная база кафедры.

В литературе встречаются различные обозначения одних и тех же величин, поэтому в тексте методического указания могут быть приведены несколько обозначений.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Вычисление характеристик эмпирических

Распределений (выборочных характеристик).

Точечные оценки. Моменты

Точечные оценки –это оценки, определяемые по одной выборке и выражаемые в виде одного числа: среднее арифметическое, мода, медиана, несмещенная оценка дисперсии.

К оценкам предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений nона стремится к оцениваемому теоретическому значению параметра.

Оценка называется несмещенной, если при любом числе наблюдений nее математическое ожидание точно равно величине оцениваемого параметра. Это требование особенно важно при малом количестве наблюдений (малом объеме выборки).

Оценка параметра называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией.

Пусть имеется ограниченный ряд наблюдений случайной величины.

Среднее значение величин этих наблюдений можно определить по формуле

.

Где представляет собой эмпирическое или выборочное среднее. Выборочное среднее выступает как приближенная оценка теоретического среднего - математического ожидания МХили М(Х).

Абсолютное отклонениекаждого наблюдения от среднего

∆Х = d_i = Х_i – ; .

Моментомпорядка k в случае одномерного эмпирического распределения называется сумма k-хстепеней отклонений результатов наблюдений от произвольного числа С, деленная на объем выборки n.

m_k = (1/n) [∑(x_i – c)];

где kможет принимать любые значения натурального ряда чисел.

Если C = 0, то момент называется начальным.

Начальным моментом первого порядка является выборочное среднее.

m_1н = = (1/n) [∑(x_i – 0)];

При C = _, момент называетсяцентральным.

Первый центральный момент

.

Второй центральный момент представляет собой дисперсию эмпирического распределения.

=

= = (1/n) [∑x_i ²– (1/n)(∑x_i )²];

Эмпирическую дисперсию можно рассматривать как приближенное значение теоретической дисперсии:

Дисперсияслужит характеристикой рассеивания случайной величины около среднего значения.

Несмещеную оценку для ( - дисперсия теоретического распределения), которая так же называется несмещенная дисперсия, можно найти по формуле

=

[1/(n-1) ] [∑x_i ²– (1/n)(∑x_i )²];

S² содержит систематическую относительную погрешность - S²/ n.

Выборочные среднеквадратические отклонения соответственно могут быть найдены по формулам:

.

Значение по-другому еще называют эмпирический стандарт или просто стандарт.

Среднеквадратическое отклонение используется наряду с дисперсией для характеристики степени рассеивания случайной величины и оказывается в ряде случаев более удобным и естественным, в первую очередь, с точки зрения своей однородности (в смысле единиц измерения) с различными характеристиками центра группирования.

Из других моментов чаще всего используют моменты третьего и четвертого порядкадля оценки асимметрии и для оценки эксцесса:

.

Выборочное значение коэффициента вариации V, являющееся мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины, вычисляют по формуле:

.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью, а, главное, корректно использовать статистические методы для построения эмпирических зависимостей.

Содержание предварительной обработки:

1. Отсеивание грубых погрешностей измерения или погрешностей, имеющих место при переписывании цифрового материала или при вводе информации в ЭВМ,

2. Проверка соответствия распределения результатов измерений закону нормального распределения. Если эта гипотеза неприемлема, то следует определить, какому закону распределения подчиняются опытные данные.

Только после выполнения перечисленных операций можно перейти к построению эмпирических формул, применяя, например, метод наименьших квадратов.

Пример статистической обработки данных.

Порядок выполнения работы

Статобработка состоит в упорядочении выборочных наблюдений и при необходимости в группировке этих наблюдений по достаточно малым интервалам, в вычислении частостей(относительных частот) для каждого интервала, в определении числовых характеристикстатистического распределения и графическом представлениирезультатов в виде гистограмм, полигонов и функций распределения.

После статобработки можно получить различные статистические характеристики (статистики). Среди них важнейшими являются: среднее арифметическое (выборочное среднее, статистическое среднее, средневзвешенное); выборочная дисперсия (статистическая дисперсия); выборочное среднее квадратическое отклонение (выборочное стандартное отклонение, выборочный стандарт).

Используют также такие характеристики: мода –значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность (значение признака, встречающееся с наибольшей частотой); медиана –значение случайной величины, при котором вероятность появления величины X_i ,меньших Xср., равна вероятности появления величин, больших X(значение признака, относительно которого эмпирическая совокупность делится на две равные по числу членов части).

Кроме среднего арифметического (статистического начального момента первого порядка) и выборочной дисперсии (статистического центрального момента второго порядка) для оценки асимметриииспользуют центральный момент третьегопорядка, а для характеристики эксцесса(островершинности) – центральный момент четвертогопорядка.

Более полными характеристиками выборки, по сравнению с ранее рассмотренными, являются эмпирическая функция распределения, гистограмма и полигон.

Гистограммаявляется графическим представлением статистического ряда, она показывает количество измерений, попавших в каждый, одинаковый по величине интервал.

Эмпирическая функция распределения(статистическая функция распределения, кумулятивная кривая, функция накопленных частот) является статистическим аналогом распределения генеральной совокупности (теоретической функции распределения).

Если объем выборки увеличивается, то от статистических закономерностей можно перейти к вероятностным, так как при этом эмпирическая функция распределения приближается к теоретической функции распределения генеральной совокупности; среднее арифметическое (выборочное среднее) приближается к математическому ожиданию (которое является генеральной средней), а выборочная дисперсия – к дисперсии генеральной совокупности.

Одной из основных и часто выполняемых задачстатистической обработки результатов испытаний (наблюдений) является построение(выбор) такого теоретического(вероятностного) распределения,которое наилучшим образом воспроизводило бы характерные признаки (особенности) экспериментального ряда. Такой переход от статистической модели к вероятностному распределениюпозволяет использовать информацию об аналогах при расчете надежностипроектируемых новых устройств и систем.

Вероятностные законы распределения представляют или в виде функции распределения илив виде плотности распределения.

Функциюраспределения иногда называют интегральнойфункцией, а плотностьраспределения вероятностей – дифференциальнойфункцией распределения.

Гистограммапри интегрировании принимает вид плавной кривой, которую называют графиком плотности распределения вероятностей(плотности распределения), а уравнение, описывающее его, закономраспределения случайной величины.

Упорядочиваниевыборочных наблюдений состоит в расположении наблюдавшихся значений в порядке возрастания. Полученный ряд называют вариационным,или ранжированным.

Если число членов вариационного ряда велико, то для удобства его изучения наблюдавшиеся значения группируют по интервалам (классам), образуя интервальный ряд. Длину интервалов обычно берут одинаковой. Интервальный ряд может быть построен как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Классическим примером, на основе которого были впервые получены многие положения математической статистики, является вычисление выборочных значений характеристик распределения признаков случайно составленной группы сверстников (например, группы новобранцев).

Наглядный пример вычисления Х_ср, S, S _{несмещ.}, моментов и коэффициента вариации можно получить, если использовать данные наблюдения роста группы двадцатилетних юношей-студентов третьекурсников.

Обычно все вычисления в математической статистике производят в табличной форме, которая наиболее удобна, так как обладает наглядностью, обозримостью и позволяет проверять вычисления на каждом этапе (см. табл. 2.1)..

В настоящее время, при наличии настольных компьютеров и карманных калькуляторов, заполнение таких таблиц не вызывает принципиальных трудностей.

В табл. 2.1 приведены цифры, соответствующие росту двадцатилетних юношей. При комплектовании лекционных потоков меньше всего учитывается рост студентов, поэтому выборку можно считать случайной.

Примером грубой ошибки в подобной ситуации было бы вычисление выборочных характеристик с использованием наблюдений роста солдат Преображенского полка царской гвардии [5].

Необходимо выполнить статистическую обработку выборки размером n = 50.

Исходные данные для расчетов лабораторной работы выбираем из табл. 2.1выборки размером n = 56,для которой дан пример расчета.

Таблица 2.1

Варианты заданий:

Исходные данные и результаты расчетов

№	x
		+ 7,34	53,88	395,45	2902,58
		- 5,66	32,04	- 181,32	1026,28
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+ 4,34	18,84	81,75	354,78
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+ 9,34	87,23	814,78	7610,05
		+ 8,34	69,56	580,09	4837,98
		- 1,66	2,76	- 4,57	7,59
		- 7,66	58,68	- 449,46	3442,83
		- 1,66	2,76	- 4,57	7,59
		+13,34	177,96	2373,93	31668,20
		- 3,66	13,40	- 49,03	179,44
		- 0,66	0,44	- 0,287	0,19
		- 8,66	75,00	- 649,46	5624,34
		+ 3,34	11,16	37,26	124,45
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		- 6,66	44,35	- 295,41	1967,42
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		- 6,66	44,36	- 295,41	1967,42
		- 4,66	21,72	- 101,19	471,57
		- 5,66	32,04	- 181,32	1026,28
		+ 1,34	1,80	2,41	3,22
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+ 3,34	11,16	37,26	124,45
		- 1,66	2,76	- 4,57	7,59
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+12,34	152,28	1879,08	23187,86
Продолжение таблицы 2.1
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		- 3,66	13,40	- 49,03	179,44
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		- 8,66	75,00	- 649,46	5624,34
		- 9,66	93,32	- 901,43	8707,80
		+ 4,34	18,84	81,75	354,78
		+ 7,34	53,88	395,45	2902,58
		+ 0,34	0,12	0,039	0,0134
		+ 6,34	40,19	254,84	1615,69
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		- 3,66	13,39	- 49,03	179,44
		+ 9,34	87,23	814,78	7610,05
		+ 7,34	53,88	395,45	2902,58
		- 0,66	0,44	- 0,287	0,19
		- 1,66	2,76	- 4,57	7,59
		+ 4,34	18,84	81,75	354,78
		- 9,66	93,32	- 901,43	8707,80
		- 6,66	44,36	- 295,41	1967,42
		- 4,66	21,72	- 101,19	471,57
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		- 6,66	44,36	- 295,41	1967,42
		- 5,66	32,04	- 181,32	1026,28
		+ 3,34	11,16	37,26	124,45
		- 4,66	21,72	- 101,19	471,57
		+ 2,34	5,48	12,81	29,98
		- 2,66	7,07	- 18,82	50,06
		+ 1,34	1,80	2,41	3,22
∑		+ 0,04	1695,90	2577,70	131951,25

1. Аналогично табл. 2.1 чертим таблицу для исходных данных и результатов расчетов с учетом выборки n = 50.Заполняемтолько два первых столбца (№ и Х),остальные столбцы надо будет заполнить результатами своих расчетов.

Начало выборки соответствует номеру фамилии студента в журнале группы.

Например, № 13. Записываем для 1-го номера Х₁ = 189; для 2-го номера Х₂ = =172 и т.д. до конца таблицы, Х₄₄ = 177; затем переходим к началу таблицы Х₄₅ = 183 и далее до Х₅₀ = 180. В выборку не попадут 6 значений от № 7 до № 12.

2. Для построения гистограммы, полигона распределения и кумулятивной линии заполняем таблицу аналогичную табл. 2.2.

Если данные табл. 2.1 разделить на классы, то можно построить гистограмму и полигон частот.

Разбиение на классы можно выполнить по правилу Штюргеса(Старджеса).

Число классов

.

В нашем случае для n = 56число классов

k = 1 + 3,32*1,75 = 6,81.

Дляn = 50число классов

k = 1 + 3,32*1,70= 6,64.

Длина интервала составит

l = (X_max – X_min)/к.

С другой стороны размах варьирования составляет

R = X_max – X_min= 189–166=23 см.

где X_max и X_min- соответственно максимальная и минимальная величины.

Исходя из этого, примем число классов равным 6 со ступенями, равными 4 см: 4х6 = 24 см. k = 6; l = 4 см.В дальнейшем, для упрощения записей, размерность «см» не указывается. Варианты(перечень интервалов для интервального ряда) и соответствующие им частоты (частости) образуют статистический ряд выборки.

Таблица 2.2

Разбивка массива исходных данных на классы,

вычисление частот

Число наблюдений с одинаковым значением варианты называют частотой. Сумма частот равна объему выборки – n.

å h _i = n .

Отношение частоты к объему выборки называют частостью(относительной частотой).

D h _i = h _i /n .

Отсев грубых погрешностей

Грубые погрешности измерения (аномальные, или сильно выделяющиеся, значения - промахи) очень плохо поддаются определению, хотя каждому экспериментатору ясно, что это такое.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда.

1. Наиболее простым способом исключения из ряда наиболее выделяющегося измерения является правило трех сигм– разброс случайных величин от среднего значения не должен превышать доверительного интервала величиной в три среднеквадратических отклонения (стандарта).

. (2.13)

Для нашего случая 175,66 +- 3х 5,55 = 175,66 +- 16,65;

175,66 – 16,65 = 159,01; 175,66 + 16,65 = 192,31;

159,01 ‹ 175,66 ‹ 192,31 см; Эти результаты отмечены на рис. 2.1.

По правилу трех сигм грубые ошибки в выборке отсутствуют.

2. Метод максимального относительного отклонения применяют, как правило, для выборки небольшого объема (n ≤ 25). Критерии появления грубых ошибок на основе z = (Х-М)/ (1.9) вычисляют по формуле:

τ_р = |X_i - X_ср| / ≥ τ_n,р ;

|189-175,66|/5,55 = 13,34/5,55 = 2,40;(2.14)

Расчетное значение сравнивают с табличным, если неравенство соблюдается, то наблюдение исключают. На практике обычно используют надежность вывода «р = 0,95» - результат получается с 95% доверительной вероятностью. В табл. 1 Приложения, экстраполируя табличные данные к нашей выборке, получим τ_n,р не менее 2,023 дляр = 0,95;а τ_n,р не менее 2,417дляр = 0,98.

По методу максимального относительного отклонения грубые ошибки в выборке отсутствуют при надежности вывода 0,98. Измерение 189 см расположено в симметричном интервале рис. 1.4 занимающем 98% площади.

После исключения того или иного наблюдения или нескольких наблюдений характеристики эмпирического распределения должны быть пересчитаны по данным сокращенной выборки.

Более достоверными являются методы, базируемые на использовании статистических критериев.

3. Для практических целей лучше всего использовать таблицы распределения Стьюдента. Этот метод исключения грубых ошибок (аномальных значений) отличается простотой, а таблицы распределения Стьюдента имеются практически в любой книге по математической статистике. Распределение Стьюдента относится к категории распределений, связанных с нормальным распределением.

Критическое значение τ_р (р – процентная точка нормализованного выборочного отклонения) выражается через критическое значение распределения Стьюдента t_{(p, n-2)} :

t _{(p, n)} = (t _{(p, n-2)} √n-1) / (√ n-2 + [t _{(p, n-2)} ]² );(2.15)

Процедура вычислений отсева грубых погрешностей:

1)Из исходных данных выбираем наибольшее отклонение

189 – 175,66 = 13,34 см;

2) По ранее приведенной формуле определяем расчетное значение критерия максимального относительного отклонения

τ_р = |X_i - X_ср| / =|189-175,66|/5,55 = 2,40;(2.14)

3) Находим по табл. 2 Приложения табличные значения процентных точек распределения Стьюдента t _{(p, n-2)} : t_(5%,54) = 1,6735; t_(0,1%,54) = 3,2574;

4) Вычисляем соответствующие точки:

t _{(5%, 54)} = (t _{(p, n-2)} √n-1) / (√ n-2 + [t _{(p, n-2)} ]² ) =(2.15)

= (1,6735 √55)/( √54х1,6735² ) = 1,648;

и (3,2574 √55)/( √54 х 3,2574²) = 3,005;

Значение τ_р = 2,40 находится между двумя табличными критическими значениями: 1,648 ‹ 2,40 ‹ 3,005. В этом случае отсев выделяющегося наблюдения нужно проводить с большой осторожностью, лучше всего от него воздержаться.

Предположим, что при переписывании таблицы исходных данных вкралась грубая ошибка; например, в строке 13вместо 189 см записано 289 см.

Тогда τ_р = |X_i - | / = (289 – 175,66)/5,55 = 20,42. Полученное значение относительного отклонения безусловно больше критического табличного значения τ_{(р, n)} при любом значении «р», следовательно, такое наблюдение должно быть отсеяно как грубая погрешность.

Как видно из приведенного примера, рекомендуемый метод отсева грубых погрешностей удобен еще тем, что максимальное относительное отклонение в процессе вычисления могут быть разделены на три группы: 1) τ ≤ τ_{(5%, n)} ; 2) τ_{(5%, n)} ‹ τ ‹ τ_{(0,1%, n)} ; 3) τ › τ_{(0,1%, n)}.

Наблюдения, попавшие в первую группу, нельзя отсеивать в любом случае. Наблюдения второй группы можно отсеять, если в пользу этой процедуры имеются еще и другие соображения экспериментатора (например, заключения, сделанные на основе изучения физических, химических и других свойств изучаемого явления). Наблюдения третьейгруппы отсеивают всегда[5].

Случайных величин

Коэффициент вариации V– является характеристикой закона распределения случайных величин: V ‹ 0,35 –близок к нормальному закону; V › 0,35 –закон Вейбулла или логарифмически нормальный; V = 1,0 -экспоненциальный закон распределения случайных величин.

Нормальный закон распределения (законГаусса)(см.рис. 1.1и др.).Если распредёление случайной величины подчиняется определенному закону и может быть хотя бы приближенно описано кривой

у = ае ^{– bх}, (2.19)

то такое распределение называют нормальным. Так как к коэффициентам аи bпредъявляется только одно требование, а именно: а, b > 0, то можно говорить о семействе кривых нормального распределения. С увеличением коэффициента «а» кривая «вытягивается» в высоту; при увеличении коэффициента «b» кривая «сплющивается» [5]. Наиболеечасто нормальное распределение используют для оценки распределения внешней нагрузки (или напряжения) на детали и агрегаты автомобиля в различных условиях эксплуатации, при определении суммарной наработки восстанавливаемых изделий до капитального ремонта, наработки до отказа невосстанавливаемых изделий.

Логарифмически-нормальный законраспределения (см.рис. 2.4) описывает распределение случайной величины, логарифм которой распределен по нормальному закону. Применяют, когда значение случайной величины составляет случайную долю ранее наблюдавшегося явления. Это распределение часто используют при расчете долговечности деталей автомобилей, эксплуатируемых в однородных условиях; при исследовании наработки до отказа многих невосстанавливаемых изделий; при исследовании циклических нагрузок, действующих на детали; для описания явлений усталости при циклической нагрузке, если предположить, что усталостное разрушение наступает в результате накопления единичных повреждений, причем число циклов, вызывающих каждое единичное повреждение, зависит от того, сколько повреждений уже накоплено.

Закон распределения Вейбулла (см.рис. 2.4).Практика исследования нагруженности агрегатов и деталей автомобилей показывает, что наиболее приемлемым законом распределения для описания их прочности и долговечности является закон распределения, предложенный шведским ученым Вейбуллом. Этому закону хорошо следуют распределения предела упругости ряда металлов, характеристики прочности материалов, усталостная долговечность деталей, наработка до отказа многих невосстанавливаемых деталей (например, подшипников качения); наработка до отказа некоторых изделий, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения.

Результаты обработки эксплуатационных наблюдений по грузовым автомобилям показывают, что ресурсы деталей, лимитирующих надежность, в 60-70 % случаев подчиняются распределению Вейбулла.

Рис. 2.4. Кривые логнормального распределения и

распределения Вейбулла

Экспоненциальный законраспределения (см.рис. 2.5)широко применяется в теории надежности, в теории массового обслуживания и других областях. Экспоненциальному закону распределения подчиняется наработка на отказ многих невосстанавливаемых элементов, это закон часто используется при рассмотрении внезапных отказов в тех случаях, когда явления изнашивания и старения настолько слабо выражены, что ими можно пренебречь.

Экспоненциальное распределение применяют также для описания наработки сложных систем, прошедших период приработки, и для описания времени безотказной работы системы с большим числом последовательно соединенных элементов, если каждый из элементов в отдельности не оказывает большого влияния на отказ системы.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение такого распределения равны между собой, что является существенным при проверке соответствия экспоненциального распределения теоретическому распределению.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла и гамма - распределения.

Гамма-распределение (см.рис. 2.5)служит для описания: износовых отказов, отказов вследствие накопления повреждений, наработки системы с резервными элементами, распределения времени восстановления.

При различных параметрах гамма-распределение принимает самые разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение. Если параметр формы a = 0,то гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при a > 10 –практически совпадает с нормальным распределением. Если a -произвольное целое число, то гамма-распределение называют распределением Эрланга.

Если параметр масштаба b = 0,5;а значение параметра формы кратно 0,5; то гамма-распределение совпадает с распределениемХИ - квадрат,которое применяется для проверки согласия эмпирических данных с гипотетической функцией распределения.

Рис. 2.5. Кривые экспоненциального и гамма распределений

При обработке экспериментальных данных нередко исследуемую выборку представляют как смесь (суперпозицию)нескольких распределений. По внешнему виду распределения, например, наличию двух или более максимумов, можно судить о целесообразности использования суперпозиции распределения. К таким распределениям могут привести различные причины изготовления и эксплуатации – изготовление одних и тех же деталей на различном оборудовании или по различной технологии, изменение конструкции детали или кузова, различия в условиях эксплуатации.

ТЕСТЫ

1. Цель предварительной обработки

Экспериментальных данных?

1.Отсеивание промахов.

2. Проверка гипотезы нормального распределения.

3. Отсеивание промахов и проверка гипотезы нормального распределения.

4. Отсеивание промахов и проверка гипотезы логнормального распределения.

Распределения?

1.Размах варьирования, максимального относительного отклонения, вероятностная сетка, стремление центральных нечетных моментов к нулю, анализ показателей асимметрии и эксцесса.

2. Размах варьирования, среднего абсолютного отклонения, вероятностная сетка, стремление центральных четных моментов к нулю, анализ показателей асимметрии и эксцесса.

3. Размах варьирования, среднего абсолютного отклонения, вероятностная сетка, стремление центральных четных моментов к нулю, анализ показателей асимметрии и эксцесса.

4. Размах варьирования, среднего абсолютного отклонения, вероятностная сетка, стремление центральных нечетных моментов к нулю, анализ показателей асимметрии и эксцесса.

И выборкой?

1.Выборка – это обследованная часть генеральной совокупности.

2.Генеральная совокупность – это обследованная часть выборки.

3.Выборка – это необследованная часть генеральной совокупности.

4. Генеральная совокупность – это необследованная часть выборки.

Закон больших чисел?

1. Среднее геометрическое результатов испытаний с ростом nвсе точнее отражает математическое ожидание испытываемой случайной величины.

2.Среднее арифметическое результатов испытаний с ростом nвсе точнее отражает математическое ожидание испытываемой случайной величины.

3. Среднее арифметическое результатов испытаний с ростом nвсе точнее отражает