Пример1. Дано множество {∆;∟;√}. 1) Составить различные двухэлементные подмножества данного множества.
Комбинацией из элементов данного множества называется подмножество данного множества, имеющее заданное свойство.
Пример1. Дано множество {∆;∟;√}. 1) Составить различные двухэлементные подмножества данного множества.
Пример2. Есть 5 различных коробок конфет и 4 различные коробки с печеньем. Сколькими способами можно выбрать в подарок: а) коробку конфет или коробку печенья; 5+4=9(подарков)
б) набор из коробки конфет и коробки печенья? а+в1 а+в2 а+в3 а+в4 - 4 подарка; 4+4+4+4+4= 4 ∙5 =20 (подарков)
Правила сложения и умножения или → +
и → ∙
Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В – k способами (независимо от выбора А ), то объект «А или В» можно выбрать (m+k) способами.
Задача1. Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих и 3 зелёных карандаша. Решение. Один карандаш, по правилу суммы, можно выбрать 5+7+3=15 способами.
Правило произведения. Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать k способами, то пары объектов АиВ можно выбрать способами.
Задача 2.Сколько существует трёхзначных чисел с разными цифрами?
Решение. В десятичной системе исчисления десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. На первом месте может стоять любая из девяти цифр (кроме нуля). На втором месте – любая из оставшихся 9 цифр, кроме выбранной. На последнем месте – любая из оставшихся 8 цифр. По правилу произведения, трёхзначных чисел имеют разные цифры.
Задача 3. Из-за проигрышей волейбольной команды тренер решил на каждой игре по-новому расставлять игроков. Сколько должно пройти игр, чтобы испытать все варианты?
Опр.1. Произведение п первых последовательных натуральных чисел называется п факториал. Обозначение: n! = 1 × 2 × 3 × … × n
Опр.2. Множества, отличающиеся от исходного множества, порядком расположения его элементов, называются перестановками. Обозначение: Рп
Утверждение. Число перестановок определяется по формуле Рп = n ! ( n факториал)
Задача 3. Р6=6!=1∙2∙3∙4∙5∙6=720(игр)
Опр.3. Упорядоченные т-элементные подмножества данного множества изп элементов называются размещениями из п элементов по т. Обозначение Апт ,п>m
Утверждение. Число размещений определяется по формуле Апт=п∙(п-1)∙…∙(п-(т-1)) или
(из п факториал надо убрать хвост произведения из (п-т) факториал при помощи деления)
Замечание. Апт=Рп, п=т
Задача 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5 и 7 (без повторения цифр)
п=6 , т=3, порядок элементов в подмножестве - важен
Опр.4.Неупорядоченное т-элементное подмножество данного множества из п элементов называется сочетанием из п элементов по т.Обозначение. Сnm, п>m
Утверждение. Число сочетаний определяется по формуле
Задача 5. Из десяти студентов нужно выбрать троих для работы в приемной комиссии с абитуриентами. Сколькими способами это можно сделать?
1)п=10; 2) т=3; 3) порядок в подмножестве не важен.Вывод:сочетания. Формула: