Теорема (формула полной вероятности).

Занятие 3.Условные вероятности и независимые события.

Условные вероятности.

Пусть произведено испытаний (экспериментов, наблюдений), пусть событие произошло раз, событие произошло раз, а оба события произошли в случаях. Наряду с - относительной частотой наступления события вычислим - относительную условную частоту наступления события , при условии, что произошло событие . Поскольку относительная частота колеблется вокруг вероятности события , получаем, что и .

Определение. Условная вероятность события при условии, что событие произошло, определяется формулой , где .

Зафиксируем событие и наряду с рассмотрим - условное вероятностное пространство. Здесь множество элементарных исходов сужено до , система подмножеств является алгеброй, и по определению положим .

Условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам и свойствам (безусловной) вероятности.

1. .

2. .

3. Если - объединение попарно несовместных событий из , то .

Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило: .

Обобщая этот результат для вероятности произведения любого числа событий, получим: .

Пример 1.В урне белых и зеленых шаров. Опыт состоит в извлечении одного за другим двух шаров, причем: а) шары возвращаются; б) шары не возвращаются. Найдите вероятность извлечения двух зеленых шаров.

Решение.

а) ;

б) .

Пример 2.Подбрасываются три игральные кости. Наблюдаемые события: , . Найти и .

Решение. По определению , .

Вычислим эти вероятности. Всего в опыте возможно исходов. Вычислим : , .

Рассмотрим .

Тогда , , .

Рассмотрим .

, , .

Окончательно , .

Формулы полной вероятности и Байеса

Определение.Совокупностьсобытий называется полной группой событий, если , , . Сами события при этом называются гипотезами.

Теорема (формула полной вероятности).

Если - полная группа событий, то для любого события имеет место формула .

Доказательство. В условиях теоремы всякое событие можно разбить в сумму попарно несовместных событий : (см. рис.). Следовательно, . Каждое слагаемое можно расписать по формуле умножения .

Пример 3. В урне №1 имеется 6 белых и 2 черных шара, а в урне №2 - 4 белых и 4 черных. Из урны №1 в урну №2 наугад перекладывается один шар, после чего из урны №2 наугад выбирается шар. Какова вероятность, что будет выбран белый шар?

Решение. Пусть событие . Рассмотрим гипотезы: , .

Тогда , а . Вычислим условные вероятности:

, так как в урне номер два при гипотезе стало 5 белых шаров из 9, , так как при гипотезе число белых осталось равно 4 из 9.

Следовательно .

Теорема (формула Байеса).

Пусть гипотезы , , образуют полную группу событий и . Тогда имеет место формула: .

Доказательство. По формуле умножения вероятностей

, откуда после деления на вероятность

и получается формула Байеса.

Вероятности называются апостериорными (вычисленными после опыта) вероятностями гипотез , в отличие от вероятностей , называемых априорными (известными до проведения опыта). То есть результат опыта (осуществление или неосуществление события ) позволяет уточнить вероятности гипотез.

Пример 4.Группа состоит из отличников, хорошистов и слабых учеников. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки, хорошисты с равной вероятностью "хорошо", "отлично" или "удовлетворительно", а остальные с равными вероятностями "удовлетворительно" и "неудовлетворительно". Для сдачи экзамена наугад вызывается один ученик. С какой вероятностью он получит "хорошо" или "отлично" (событие )?

Решение. Рассмотрим три гипотезы: , , .

Тогда , , .

Найдем условные вероятности: , , . Тогда .