Аксиоматическое построение теории вероятностей

Теория вероятностей долгое время не имела четких и строгих математических определений. Ее применение иногда приводило к известным в истории парадоксам (парадоксы Бертрана). В связи с этим эта наука стала подвергаться резкой и вполне обоснованной критике. Развитие многих наук и, прежде всего, естествознания потребовало от теории вероятностей не только более четких определений, но и предъявления более точных условий, при которых возможно применение ее результатов. Поэтому возникла необходимость построения строгой математической науки, которая, как и любая другая математическая наука, должна строиться из аксиом. Такая точка зрения впервые была высказана в 1917 году советским математиком С.Н.Бернштейном. Несколькими десятилетиями позже академик А.Н.Колмогоров предложил связать теорию вероятностей с современной метрической теорией функций и теорией множеств и на основе выделенных аксиом дать определение вероятности.

Как было отмечено ранее, каждое событие можно трактовать как некое множество. Если каждому случайному событию поставить в соответствие некоторое число, то получим некую функцию на множестве случайных событий. Обозначим эту функцию через Р(А) и назовем ее вероятностью события А, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Вероятность любого события (значение функции Р(А)) есть число, заключенное между нулем и единицей, т.е.

.

2. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е., если А и В – несовместные события, то

.

3. Вероятность суммы конечного или счетного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е., если А₁, А₂, …, А_n, … – несовместные события, то

.

Условия 1-3 называются аксиомами. Аксиому 2 иногда называют теоремой сложения или правилом сложения несовместных событий.

Из сформулированных аксиом следуют несколько важных элементарных свойств вероятности, а именно:

− вероятность невозможного события равна нулю: ;

− для любого события А и ему противоположного Ā выполнено ;

− если событие А влечет за собой событие В, т.е. , то .

Из вышеописанных аксиом легко получается классическая формула определения вероятности события. Приведем вывод для общего случая.

Пусть для событий А₁, А₂, …, А_n, которые являются результатами некоторого опыта, выполнены три условия:

1) они несовместны;

2) они образуют полную группу;

3) они равновозможны.

Напомним, что для более полных курсов теории вероятностей, где как раз и используется аксиоматический подход, в определение полной группы не входит условие несовместности событий, поэтому первое условие выделено отдельно.

Событие А_i благоприятствует некоторому случайному событию А, если . Найдем Р(А).

События А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу, следовательно,

.

События А₁, А₂, …, А_n несовместны, следовательно, к ним можно применить аксиому сложения:

.

Так как , а события А₁, А₂, …, А_n равновозможны, то

.

Если т_А – число событий А_i, благоприятствующих А, то, очевидно, что

.

Классическая формула доказана.

При выводе классической формулы было также доказано следующее утверждение: Сумма вероятностей полной группы несовместных событий равна единице, т.е.

, если при .