Лекция 3. аксиоматическое построение теории вероятностей. аксиоматика колмогорова
Классическое определение вероятности является весьма ограниченным. Ограниченность проявляется хотя бы в том, что события рассматриваются равновозможные, дискретные, число которых конечно. Рассмотрим, например, стрельбу по мишени. Если нас интересует только сам факт попадания по мишени, то элементарными исходами служат ω1=1 и ω2 = 0. Если нас интересует попадание в различные области мишени, то элементарными событиями могут быть ω10 = 10, ω9 = 9,… ω0 = 0. В обоих случаях вероятности элементарных событий не одинаковы. Если нас интересует, в какую конкретно точку мишени попал стрелок, то произвольный элементарный исход ω = {X, Y} – представляет координаты точки попадания, а множество элементарных событий – это множество точек плоскости. Число точек плоскости не конечно и даже несчетно. Поэтому нужно так определить вероятность, чтобы это определение было одинаково пригодным для объектов различной природы.
При классическом определении вероятности в качестве события рассматривалось любое подмножество конечного множества элементарных событий W и вероятность события определялась как сумма вероятностей входящих в него элементарных событий. Если же W непрерывно, то имеет место континуум элементарных исходов. Попытка считать событием любое подмножество непрерывного множества W сопряжена с большими трудностями.
Поэтому в общем случае приходится иметь дело не со всеми подмножествами W, а лишь с определенным классом, замкнутым относительно операций объединения и пересечения.
Определение 1. Класс подмножеств из W, замкнутый относительно операций объединения, дополнения и пересечения, а также содержащий множества W, Æ, называется полем.
Будем обозначать поле буквой S. Минимальное поле состоит из полного и пустого множества S0 = {W, Æ}. Другим примером поля событий служит класс из четырех событий S1 = {W, Æ, А , 
}. Доказать самостоятельно.
Определение 2. Вероятностью называется числовая функция, определенная на поле событий S и обладающая следующими свойствами:
аксиома 1.Для любого события А Î S, Р(А) ³ 0;
аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице, P(Ω)=1;
аксиома 3. Вероятность объединения двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
если АÎS, BÎS, А∩B = Æ, то P(АÈB) = P(А+B) = P(А) +P(B).
Во многих случаях выполнение аксиомы 3 требуется в расширенном варианте, а именно, аксиома 3 постулирует сложение вероятностей для конечного числа несовместных событий, в то время как в расширенном варианте речь идет о счетном числе несовместных событий –
аксиома 3'. Если Аi Î S, Аi ∩ Аj = Æ," i ≠ j , то 
.
Определение 3.Набор объектов {Ω,S,P} называется вероятностным пространством, где Ω – множество всех элементарных событий, S – поле, P – вероятность, определенная на поле S.
В лекции 2 формула условной вероятности (4) была выведена на основе классического определения вероятности, для общего случая эта формула является определением условной вероятности.
Определение 4. Условная вероятность наступления события А при условии В равна
P(a/b) = Р(АÇВ)/Р(В) = Р(АВ)/Р(В).
Определение 5. Событие А не зависит от события В, если
Р(А/В) = Р(А).
Теорема 1.Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А.
Доказательство.
Р(В/А) = Р(ВÇА)/Р(А) = Р(АÇВ)/Р(А) = {P(a/b)Р(В)}/Р(А) = {Р(А)Р(В)}/Р(А) = Р(В).
Из определения 4 вытекают формулы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:
P(A1A2… An) = P(A1)PA1(A2)PA1A2(A3)… PA1A2… An-1(An).
Определение 6. События A1, A2, …, An независимы в совокупности, если независимы любые два из них и независимы любое из этих событий и любые комбинации (произведения) остальных событий.
Следствие 2. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1A2… An) = P(A1)P(A2)… P(An).
Доказательство.
P(A1A2… An) = P(A1·A2… An) = P(A1)P(A2… An).=…= P(A1)P(A2)… P(An).
Определение 7. Событие А1,А2,… Аn образуют полную группу событий, если они попарно несовместны (Аi∩Аj = Ø, для любого i ≠ j)и в совокупности образуют Ω, т.е. 
.
Теорема 2.Если события А1,A2,… Аn образуют полную группу событий, Р(Аi) > 0 (так как не будет определено P(B/Ai)), то вероятность некоторого события B Î S определяется, как сумма произведений безусловных вероятностей наступления события Аi на условные вероятности наступления события B, т.е.
.(1)
Доказательство. Так как события Аi попарно несовместны, то их пересечение с событием B также попарно несовместны, т.е. B∩Аi и B∩Аj – несовместны при i ¹ j. Используя свойство дистрибутивности ((ÈАi)ÇВ = È(АiÇВ)), событие B можно представить как 
. Воспользуемся аксиомой сложения 3 и формулой умножения вероятностей, получим
.
Формула (1) называется формула полной вероятности.
Из формулы полной вероятности легко получить формулу Байеса, при дополнительном предположении, что P(B)>0
,
где k = 1, 2, …, n.
Доказательство.P(Аk/B) = P(Аk ∩ B)/P(B) 
Вероятности событий P(Аi ), i =1, 2, …, n называются априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий P(Аk/B), называются апостериорными вероятностями, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.
Задача. В торговую фирму поступили сотовые телефоны последних моделей от трех производителей Alcatel, Siemens, Motorola в соотношении 1 : 4 : 5. Практика показала, что телефоны, поступившие от 1-го, 2-го, 3-го производителя, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98 %, 88 % и 92 % случаев. Найти вероятность того, что поступивший в продажу телефон не потребует ремонта в течение гарантийного срока, проданный телефон потребовал ремонта в течение гарантийного срока, от какого производителя вероятнее всего поступил телефон.