Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалось раз, — раз, — раз и — объем выборки. Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

Написать распределение относительных частот.

Решение: Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

, , .

Напишем распределение относительных частот:

Контроль: 0,15 + 0,50 + 0,35=1.

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: — число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n — общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X<х равна . Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота есть функция от х. Так как, эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X<х.

Итак, по определению,

где — число вариант, меньших х; n — объем выборки.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события X<х, а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

обладает всеми свойствами . Действительно, из определения функции вытекают следующие ее свойства:

1. значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];

2. — неубывающая функция;

3. если — наименьшая варианта, то при ; если — наибольшая варианта, то при .

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , …, . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Пример. Построить полигон частот по данному распределению выборки:

Решение:

Рис.14

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).