Многомерные случайные величины

В главе рассматриваются:

- понятие многомерной случайной величины и ее закон распределения;

- функция распределения многомерной случайной величины;

- плотность вероятности двумерной случайной величины;

- ковариация и коэффициент корреляции.

Типовые задачи

Пример 5.1

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) задан в табл. 5.2.

Таблица 5.2

yi xi	-1
	0,10	0,25	0,30	0,15
	0,10	0,05	0,00	0,05

Найти:

а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y;

б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1;

в) вычислить P(

Y<

X).

Решение

а) Случайная величина X может принимать значения:

Х = 1 с вероятностью P₁ = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8;

X = 2 с вероятностью P₂

=

0,10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2,

т.е. ее закон распределения

X:	xi
pi	0,8	0,2

Аналогично закон распределения

Y:	yj	-1
pj	0,2	0,3	0,3	0,2

б) Условный закон распределения Х при условии, что Y = 2. получим, если вероятность p_ij

, стоящие в последнем столбце табл.5.2, разделим на их сумму, т.е. p(Y = 2) = 0,2. Получим

Х Y=2 :	х i
pj(х i)	0,75	0,25

Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии Х = 1 вероятности p_ij, стоящие в первой строке табл. 5.2, делим на их сумму, т.е. на p(X = 1) = 0,8. Получим

YХ=1 :	yj	-1
pi(yj)	0,125	0,3125	0,375	0,1875

в) Для нахождения вероятностей Р(Y < Х) складываем вероятности событий p_ij из табл. 5.2, для которых y_j < х

_i.

Получим

Р(Y < Х) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5

Пример 5.2

Двумерная случайная величина распределена равномерно в круге радиуса R = 1 (рис. 5.5). Определить:

а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (

X, У);

б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;

в) вероятность того, что расстояние от точки (

X,

Y) до начала координат будет меньше 1/3.

Решение

а) По условию

Постоянную С можно найти из соотношения (5.18):

Проще это сделать, исходя из геометрического смысла соотношения (5.18), означающего, что объем тела, ограниченного поверхностью распределения φ(х,у) и плоскостью Оху, равен 1.

В данном случае, это объем цилиндра с площадью основания πR² = π*1² = π и высотой С (рис. 5.6), равный п*С = 1, откуда С = 1/π. Следовательно,

Найдем функцию распределения F(x,y) по формуле (5.17):

(5.21)

Очевидно, что этот интеграл с точностью до множителя 1/π совпадает с площадью области D – области пересечения круга с бесконечным квадрантом левее и ниже точки M(x,y) (рис.5.7).

Опустим расчеты интеграла (5.21) для различных х и у,но отметим очевидное, что

при x ≤ -1, -∞ < y < ∞ или при -∞ < х < ∞, у < - 1 F(

x,

y) = 0,

так как в этом случае область D – пустая, а при x >1, у >1 F (х,у) = 1, так как при этом область D полностью совпадает с кругом х² + у² < 1, на котором совместная плотность φ(х,у) отлична от нуля.

б) Найдем функции распределения одномерных составляющих X и

Y. По формуле (5.19) при -1< х < 1

Итак,

Аналогично

Найдем плотности вероятности одномерных составляющих Х и Y. По формуле:

График плотности φ₁(х) показан на рис. 5.8.

Аналогично

в) Искомую вероятность , т.е. вероятность того. Что случайная точка (X,Y) будет находится в круге радиуса R₁ = 1/3 (см. рис. 5.5), можно было найти по формуле:

,

но проще это сделать, используя понятие «геометрической вероятности», т.е.

Пример 5.3

По данным примера 5.3 определить:

а) условные плотности случайных величин X и У;

б) зависимы или независимы случайные величины X и Y;

в) условные математические ожидания и условные дисперсии.

Решение

а) Найдем условную плотность φ

_y(x) по формуле (5.22), учитывая, что φ₂(y) ≠ 0.

График φ

_y(x) при y = 1/2 показан на рис. 5.11.

Аналогично

б) X и Y – независимые случайные величины, так как φ(x,y) ≠

φ₁(x)φ₂(y) или φ_y(x) ≠ φ₁(x), φ_х(y) ≠ φ₂(y).

в) Найдем условное математическое ожидание M_x(Y), учитывая, что .

Аналогично

Этот результат очевиден в силу того, что круг x² + y² ≤ 1 (рис.5.5) симметричен относительно координатных осей. Таким образом, линия регрессии Y по

X совпадает с осью Ох (М_х(Y) = 0), а линия регрессии X по Y – с осью Оу (М_у(Х) = 0).

Найдем условную дисперсию D_x(Y):

(Тот же результат можно получить проще – по формуле дисперсии равномерного закона распределения:

)

Аналогично

Таким образом, по мере удаления от начала координат дисперсия условных распределений уменьшается от 1/3 до 0.

Пример 5.4

По данным примера 5.2 определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и

Y.

Решение

В примере 5.2 были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:

X:	xi
pi	0,8	0,2

и

Y:	yj	-1
pj	0,2	0,3	0,3	0,2

Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

,

,

Для нахождения математического ожидания M(

XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин (с вероятностями его значений из табл. 5.2), а затем по нему найти M(

XY)

Закон распределения (XY) имеет вид:

(х y)k	-2	-1
pk	0,1	0,1	0,3	0,3	0,15	0,05

Но делать это вовсе не обязательно. M(

XY) Можно найти непосредственно по табл. 5.2 распределения двумерной случайной величины (

X,

Y) по формуле:

,

где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n – число строк, m – число столбцов):

Вычислим ковариациюK_xy по формуле:

K_xy = – a_xa_y = 0,5-1,2*0,5 = -0,1.

Вычислим коэффициент корреляции ρ по формуле:

т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).

Пример 5.5

По данным примера 5.3 определить:

а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y;

б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины.

Решение

а) Вначале найдем математические ожидания а_х= М{Х) и a_y=

M(

Y) по формулам:

Аналогично а_у = 0 (то, что а_х = а_у = 0, очевидно из соображения симметрии распределения в круге, из которой следует, что центр его массы лежит в начале координат).

По формуле (5.34) ковариация:

Соответственно коэффициент корреляции .

б) Так как р = 0, то случайные величины X и

Y некоррелированы. Убеждаемся в том, что из некоррелированности величин еще не вытекает их независимость.

Пример 5.6

Найти плотность вероятности случайной величины Y = 1-X³, где случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности

.

Решение

По условию y = f(x) = 1-x³, откуда . Производная (по абсолютной величине):

.

Плотность вероятности:

Пример 5.7

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2-3sinX, если плотность вероятности случайной величины X есть φ(х) = cosX на отрезке [-π/2, π/2].

Решение

По формуле (5.57)

Дисперсия D(Y) = M(Y²) – :

.

Пример 5.8

Найти закон распределения суммы двух случайных величин, распределенных равномерно на отрезке [0; 1].

Решение

Пусть Z =

X+

Y, где φ₁(x)= 1 при 0 ≤ х ≤ 1 и

φ₂(у) = 1 при 0 ≤ у ≤1.

По формуле (5.49) плотность вероятности:

Если z < 0, то для 0 ≤ x ≤ 1 z-x < 0; если z > 2, то для 0 ≤ x ≤ 1 z-x > 1, следовательно, в этих случаях φ₂(z-x) = 0 и φ(z) = 0.

Пусть 0 ≤ z ≤ 2. Подынтегральная функция φ₂(z-x) будет отлична от нуля только для значений х, при которых 0 ≤ z -

x ≤ 1 или, что то же самое, при z -1 ≤ x ≤ z.

Если 0 ≤ z ≤ 1, то .

Если 1 ≤ z ≤ 2, то .

Объединяя все случаи, получим:

(5.60)

Закон распределения (5.60) называется законом распределения Симпсона или законом равнобедренного треугольника (рис. 5.16).

Вычисление φ(z) можно было провести и иначе: вначале найти функцию распределения F(

z), а затем – ее производную, т.е. φ(z) = F'(z). Преимущество такого подхода состоит в возможности использования геометрической интерпретации функции F(z) как площади S_D области D – части квадрата (со стороной, равной 1), лежащей левее и ниже прямой у = z - х (рис. 5.17).

Действительно (см. рис. 5.17), при 0 ≤ z ≤1 S_D = z²/2 (площадь заштрихованного треугольника со стороной z), а при 1 ≤ z ≤ 2 S_D = 1 - (2 - z)²/2 (площадь квадрата без площади незаштрихованного треугольника, сторона которого, как нетрудно показать, равна (2 – z). Следовательно,

и выражение (5.60) для φ(

z) получается дифференцированием F(z).

Задания

5.1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (

X,

Y) задан в табл. 5.3.

Таблица 5.3

yi xi
-1	0,02	0,03	0,09	0,01
	0,04	0,20	0,16	0,10
	0,05	0,10	0,15	0,05

Найти:

а) законы распределения одномерных случайных величин Х и

Y;

б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии Х = 1;

в) вероятность P(Y > X).

5.2. Рассматривается двумерная случайная величина (

X,

Y), где X – поставка сырья, Y – поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить:

а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (Х,У),

б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;

в) зависимы или независимы X и Y;

г) вероятности того, что поставка сырья произойдет до и после поступления требования.

5.3. Двумерная случайная величина (

X,

Y) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны корень2и составляют углы 45° с осями координат. Определить:

а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (

X,

Y);

б) плотности вероятности одномерных составляющих X и Y;

в) их условные плотности;

г) зависимыили независимы Х и

Y.

5.4. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины (

X,

Y):

Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.

В примерах 5.14–5.16 определить:

а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y,

б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины.

5.5. Использовать данные примера 5.10.

5.6. Использовать данные примера 5.11.

5.7. Использовать данные примера 5.12.

5.8. Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности φ(х) = 0,5е^-│Х│. Найти плотность вероятности случайной величины Y =

X² и ее математическое ожидание.

5.9. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N(0,1).

5.10. Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то Х = 1, в противном случае X = 0;

Y = 1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти:

а) законы распределения двумерной случайной величины (

X,

Y) и ее одномерных составляющих;

б) условные законы распределения Х и

Y.

5.11. Двумерная случайная величина (

X,

Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где O(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (

X,

Y).

5.12. Поверхность распределения двумерной случайной величины (

X,

Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (

X,

Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ(х, у), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ₁(x), φ₂ (y), условных плотностей φ

_x(y),

φ

y(x). Выяснить, являются ли случайные величины X и Y. зависимыми; коррелированными.

5.13. Двумерная случайная величина (

X,

Y) распределена по закону

Найти:

а) коэффициент А;

б) вероятность попадания случайной величины (

X,

Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2.

Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ₁(х),

φ₂(

y).

5.14. Совместная плотность двумерной случайной величины (

X, У) имеет вид

Найти:

а) постоянную С;

б) плотности вероятности одномерных составляющих;

в) их условные плотности;

г) числовые характеристики а_х, а_у,

D(Х),

D(

Y), ρ.

5.15. Найти совместную плотность двумерной случайной величины (

X,

Y) и вероятность ее попадания в область D – прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2,у = 3, у = 5,если известна ее функция распределения (

X,

Y):

5.16. Задана совместная плотность двумерной случайной величины (X,

Y):

.

Найти функцию распределения F(x,y).

5.17. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а_х = 0, . Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X,

Y).

5.18. Совместная плотность двумерной случайной величины (X,

Y) задана формулой:

Найти a_x, a_y, , , ρ.

5.19. Независимые случайные величины X,

Y распределены по нормальным законам с параметрами a_x = 2, a_y = -3, = 1, = 4. Найти вероятности событий:

а) (X < a_x)(Y < a_y);

б) Y < X-5;

в)(│X│< 1)(│Y│< 2).

5.20. Задана плотность вероятности φ(х) случайной величины Х, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если:

а) Y = e^-

^x;

б) Y = lnX;

в) Y = X³;

г) Y = 1/X²;

д) Y = .

5.21. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-π/2; π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y = sinX.

5.22. Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности

Найти закон распределения случайной величины Y = .

5.23. Случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью вероятности

.

Найти плотность вероятности обратной величины Y = 1/X.

5.24. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения

xi	-1
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Y= 2^х

5.25. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 – ЗХ. Числовые характеристики случайной величины X заданы а_х= -1; D(

X) = 4. Найти:

а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;

б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и

Y.

5.26. Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервала φ(x) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=

X².

5.27. Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 1/x

5.28. Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=

X².

5.29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Х = 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=

e^-

^X.

5.30. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 0, σ² = 5. Найти математическое ожидание случайной величины Y=1 - ЗХ² + 4Х³.

5.31. Имеются две независимые случайные величины X и

Y. Величина X распределена по нормальному закону с параметрами а_х= 1, = 4. Величина Yраспределена равномерно в интервале (0;2). Найти:

а) М(Х - У),

D(Х -

Y);

б) M(

X²),

M(

Y²).