Свойства характеристических функций

Свойство 1.Характеристическая функция определена для любой случайной величины. При этом Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Поскольку Свойства характеристических функций - student2.ru , то Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойство 2.Характеристическая функция случайной величины Свойства характеристических функций - student2.ru , где a, b—некоторые числа.

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Если случайные величины Свойства характеристических функций - student2.ru —независимы, то характеристическая функция суммы
§ 5. Геометрические вероятности.   Предположим, что на числовой оси имеется некоторый отрезок [a,b] и на этот отрезок наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет на Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru —геометрическая вероятность на прямой. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством: Свойства характеристических функций - student2.ru —геометрическая вероятность на плоскости. Пусть в пространстве имеется фигура v, составляющая часть фигуры V. На фигуру V наудачу брошена точка. Вероятность попадания точки в фигуру v определяется равенством: Свойства характеристических функций - student2.ru —геометрическая вероятность в пространстве. Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов. Для устранения этого недостатка и вводят геометрические вероятности.   § 6. Свойства вероятности.

Свойства характеристических функций - student2.ru , m=0,1,2,…

Если Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойства характеристических функций - student2.ru . t=0, Свойства характеристических функций - student2.ru .

Производящая функция Свойства характеристических функций - student2.ru .

Таблица 1. Производящие функции.

Название распределения Формула для Свойства характеристических функций - student2.ru Производящая функция Свойства характеристических функций - student2.ru
Геометрическое Свойства характеристических функций - student2.ru , k=0,1,2,… pqk Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru
Биномиальное Свойства характеристических функций - student2.ru , k=0,1,2…,n. Свойства характеристических функций - student2.ru
Пуассоновское Свойства характеристических функций - student2.ru , k=0,1,… Свойства характеристических функций - student2.ru

Таблица 2. Характеристические функции.

Название распределения Формула для Свойства характеристических функций - student2.ru или плотности Характеристическая функция Свойства характеристических функций - student2.ru
Биномиальное Свойства характеристических функций - student2.ru , k=0,1,2… Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru
Пуассоновское Свойства характеристических функций - student2.ru , k=0,1,2,.. Свойства характеристических функций - student2.ru
 
Свойство 1.Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 2.Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 3.Для любого события Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru , т.к. Свойства характеристических функций - student2.ru , то Свойства характеристических функций - student2.ru и следовательно Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 4.Если события А и В несовместимы, то вероятность суммы равна сумме вероятностей: Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Свойство 5. (обобщенная теорема сложения вероятностей) Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru. Свойство 6. (теорема сложения k слагаемых) Если события А1, А2,…, Аk попарно несовместимы, то Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 7.Если Свойства характеристических функций - student2.ru (А влечет В), то Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru , тогда

Р p1 p2

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Случай 2. Пусть Свойства характеристических функций - student2.ru —целочисленная случайная величина с плотностью Свойства характеристических функций - student2.ru . Тогда характеристическая функция Свойства характеристических функций - student2.ru .

Пример 1. Пусть Свойства характеристических функций - student2.ru —целочисленная случайная величина с производящей функцией Свойства характеристических функций - student2.ru . Тогда характеристическая функция случайной величины Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru —производящая функция от аргумента Свойства характеристических функций - student2.ru .

Пример 2. Пусть случайная величина Свойства характеристических функций - student2.ru имеет биномиальное распределение с параметрами (n,p), т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Найти характеристическую функцию Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru , m=0,1,2…,n.

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Если t=0, то Свойства характеристических функций - student2.ru .

Из примера 1, § 12 найдена производящая функция случайной величины Свойства характеристических функций - student2.ru ,

Свойства характеристических функций - student2.ru , если Свойства характеристических функций - student2.ru .

Пример 3. Пусть случайная величина Свойства характеристических функций - student2.ru имеет пуассоновское распределение с параметром λ, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Найти характеристическую и производящую функции.

Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 8.Если Свойства характеристических функций - student2.ru , то Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru. Следовательно, Свойства характеристических функций - student2.ru . Тогда Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 9. Свойства характеристических функций - student2.ru. Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 10.Если события Н1, Н2,…,Нk образуют полную группу, то Свойства характеристических функций - student2.ru . Т.к. Свойства характеристических функций - student2.ru , то по свойству 6: Свойства характеристических функций - student2.ru § 7. Условная вероятность. Независимость. o Условной вероятностьюсобытия B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение Свойства характеристических функций - student2.ru , (реже Свойства характеристических функций - student2.ru ). Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Теорема (умножение вероятностей): Свойства характеристических функций - student2.ru . Теорема (обобщенная теорема умножения).

Распределение Фишера F определяется двумя параметрами—числами степеней свободы.   § 23. Характеристические функции. 0. 1Случайная величина Свойства характеристических функций - student2.ru , где i—мнимая единица, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru ,а X и Y—действительные случайные величины, называется комплекснозначной случайной величиной. (i2= –1). 0. 2Математическим ожиданием комплекснозначной случайной величины Z называется Свойства характеристических функций - student2.ru . Все свойства математического ожидания остаются справедливыми для комплекснозначных случайных величин. 0. 3Комплекснозначные случайные величины Z1=X1+iY1 и Z2=X2+iY2 называются независимыми, если независимы соответственно Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство комплекснозначных случайных величин. Если комлекснозначные случайные величины Z1 и Z2—независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . 0. 4 Характеристической функцией случайной величины Свойства характеристических функций - student2.ruназывается функция Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru . Формулы для вычисления характеристической функции. Случай 1. Пусть Свойства характеристических функций - student2.ru —дискретная случайная величина с рядом распределения
Свойства характеристических функций - student2.ru x1 x2
 
Свойства характеристических функций - student2.ru . Доказательство: Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . Пример. Студент знает 20 вопросов из 25, преподаватель задает 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все 3 вопроса. А—событие, что студент знает все три вопроса. А1— знает первый вопрос; А2— знает второй вопрос; А3— знает третий вопрос; Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru . o События А и В называются независимыми, если Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B). Свойства характеристических функций - student2.ru . Пусть P(B/A)=P(B), тогда Свойства характеристических функций - student2.ru А и В

Тогда величина Свойства характеристических функций - student2.ru имеет распределение, которое называют t—распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В.Госсета), с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Плотность распределения случайной величины t имеет вид Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru . Случайная величина t имеет математическое ожидание Mt=0, Свойства характеристических функций - student2.ru (k>2).   § 22. Распределение Фишера.   Если U и V—независимые случайные величины, распределенные по закону Х2 со степенями свободы k1 и k2, то величина Свойства характеристических функций - student2.ru имеет распределение Фишера F со степенями свободы k1 и k2. Плотность этого распределения Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru .
независимы. Пример. Бросаются две симметричные монеты. Найти вероятность того, что на обоих монетах выпадут гербы. Свойства характеристических функций - student2.ru . А–на первой монете герб, В–на второй монете герб. А и В независимы. o События А12,…,Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если Свойства характеристических функций - student2.ru (для i≠j; i,j Свойства характеристических функций - student2.ru {1,2,3,…,n})–попарная независимость событий; Свойства характеристических функций - student2.ru , …, Свойства характеристических функций - student2.ru . Можно показать, что из попарной независимости не вытекает независимость в совокупности.   § 8. Формулы полной вероятности и Байеса. Теорема 1.Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности: Свойства характеристических функций - student2.ru , или Свойства характеристических функций - student2.ru . Так как события образуют полную группу, то можно записать Свойства характеристических функций - student2.ru . Событие А может произойти только с одним

§ 20. Распределение «xи квадрат».   Пусть Xi, Свойства характеристических функций - student2.ru —нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидании каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение (или дисперсия)—единице. Тогда сумма квадратов этих величин Свойства характеристических функций - student2.ru распределена по закону Х2 с k=n степенями свободы. Если же эти величины Хi связаны одним линейным соотношением, например Свойства характеристических функций - student2.ru , то число степеней свободы k=n-1. Плотность этого распределения Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru —гамма-функция; в частности, Г(n+1)=n! Отсюда видно, что распределение «x и квадрат» определяется одним параметром—числом степеней свободы k. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.   § 21. Распределение Стьюдента.   Пусть Z—нормально распределенная величина, причем M(Z)=0, G2=1, т.е. Z~N(0,1), а V—независимая от Z величина, которая распределена по закону Х2 с k степенями свободы.
из событий Hi, i Свойства характеристических функций - student2.ru {1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей Свойства характеристических функций - student2.ru Пример. Имеются 2 урны. В первой—3 белых и 5 черных шаров, во второй—4 белых и три черных. Из первой наудачу взят один шар и переложен во вторую урну. После этого из второй урны был извлечен наудачу шар. Какова вероятность, что он белый? Событие А—из второй урны извлечен шар; Н1—из первой урны во вторую переложен белый шар Н2—из первой урны во вторую переложен черный шар. Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н12,…,Нn , образующие полную группу, называются гипотезами. Теорема 2.Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса: Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru Доказательство: По теореме умножения

Свойство 6.функция Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru .

Пример 1. Пусть μ—число успехов в n независимых испытаниях Бернулли, т.е. μ~B(n,p)—биномиальное распределение с параметрами (n,p). Найти производящую функцию случайной величины μ.

Свойства характеристических функций - student2.ru , где μk—число успехов в каждом испытании

μk
P q p

Найдем производящую функцию случайной величины μk Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Пример 2. Пусть случайная величина Свойства характеристических функций - student2.ru имеет распределение Пуассона с параметром λ, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Найти производящую функцию случайной величины Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Свойства характеристических функций - student2.ru .

вероятностей Свойства характеристических функций - student2.ru . Отсюда находим вероятность Свойства характеристических функций - student2.ru . Остается в знаменателе подставить вместо Свойства характеристических функций - student2.ru —формула полной вероятности. Пример. Рассмотрим предыдущий пример с учетом того, что из второй урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны вынули белый шар. Нужно найти P(H1|A). Свойства характеристических функций - student2.ru. Свойства характеристических функций - student2.ru. Замечание. При применении формулы Байеса вероятности Свойства характеристических функций - student2.ru называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H1|A),…,P(Hn|A) называют апостериорными вероятностями гипотез. § 9. Схема независимых испытаний Бернулли Полиноминальное распределение.   Предположим, что в результате испытания возможны два исхода: «У» и «Н», которые мы

Свойства производящих функций. Свойство 1.Производящая функция Свойства характеристических функций - student2.ru определена в области Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 2.Производящая функция Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Свойство 3.Значение производящей функции в точке Z=1, P(1)=1. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 4. Если Z=1, то MX=P’(1) Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 5. Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru. Если Z=1 Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Следовательно, Свойства характеристических функций - student2.ru . Если Х12,…,Хn—независимые целочисленные случайные величины, то производящая
называем успехом и неудачей. Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , p+q=1. Предположим, что мы производим независимо друг от друга n таких испытаний. o Последовательность n испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, а в каждом из них возможны два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию. Элементарным исходом будет являться: (w1,w2,…,wn), Свойства характеристических функций - student2.ru . Всего таких исходов 2n. Свойства характеристических функций - student2.ru . (1) Формула (1) показывает, что события независимы. Обозначим через µ число успехов в n испытаниях Бернулли. Свойства характеристических функций - student2.ru — вероятность того, что в n испытаниях произошло k успехов. Рассмотрим событие Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . По теореме сложения получим Свойства характеристических функций - student2.ru Таким образом, получим Свойства характеристических функций - student2.ru —формула Бернулли. Пример. 2 шахматиста играют в шахматы.

Свойства характеристических функций - student2.ru Знак коэффициента асимметрии указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию.

o Эксцессом случайной величины Х называется число Свойства характеристических функций - student2.ru .

Характеризует сглаженность кривой распределения по отношению к кривой нормального распределения.

Производящие функции.

o Под целочисленной случайной величиной будем понимать дискретную случайную величину, которая может принимать значения 0,1,2,…

Таким образом, если случайная величина Х—целочисленная, то она имеет ряд распределения

Х
Р р0 р1 р2

o Пусть Х—целочисленная величина с законом распределения

Х
Р р0 р1 р2

Ее производящей функцией называется функция Свойства характеристических функций - student2.ru

Оба шахматиста равны по силам. Что вероятнее выиграть одну партию из двух или две из четырех (ничьи во внимание не принимаются)? Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru .   Полиномиальное распределение. Предположим, что в результате испытания возможны k исходов E1, E2, …, Ek, P(Ei)=pi, Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие E1 появиться r1 раз, E2 – r2 раз, …, Ek – rk раз вычисляется по формуле: Свойства характеристических функций - student2.ru где Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Эта формула полиномиальное распределения, обобщающая формулу Бернулли. § 10 Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n

Свойство 1.корреляции не превосходит единицы, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 2.Для того чтобы Свойства характеристических функций - student2.ru необходимо и достаточно, чтобы случайные величины Х и Y были связанны линейной зависимостью. Т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru с вероятностью 1. Свойство 3.Если случайные величины независимы, то они некоррелированы, т.е. r=0. Пусть Х и Y—независимы, тогда по свойству математического ожидания Свойства характеристических функций - student2.ru o Две случайные величины Х и Y называют коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля. o Случайные величины Х и Y называют некоррелированнымиесли их коэффициент корреляции равен 0. Замечание. Из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Коэффициент корреляции характеризует тенденцию случайных величин к линейной зависимости. Чем больше по абсолютной величине коэффициент корреляции, тем больше тенденция к линейной зависимости. o Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число Свойства характеристических функций - student2.ru  
изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине Свойства характеристических функций - student2.ru , то есть Свойства характеристических функций - student2.ru . Доказательство:По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях Свойства характеристических функций - student2.ru , где q=1-p. Отсюда Свойства характеристических функций - student2.ru . По условию Свойства характеристических функций - student2.ru . Подставляя, получим Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Перейдем к пределу при Свойства характеристических функций - student2.ru , т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru

  Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий используют и другие характеристики. К их числу относятся ковариация и коэффициент коррекции. o Ковариацией между случайными величинами Х и Y называется число Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru . Для непрерывных случайных величин X и Y используют формулу Свойства характеристических функций - student2.ru . Покажем, что если случайные величины Х и Y независимы, то Свойства характеристических функций - student2.ru . Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru o Коэффициентом корреляции между случайными величинами Х и Y называется число Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства корреляции. Абсолютная величина коэффициента
Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru —формула Пуассона. Теоремой удобно пользоваться, когда р→0, Свойства характеристических функций - student2.ru . Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k. Формулой Бернулли Свойства характеристических функций - student2.ru удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобнее пользоваться приближенными формулами, одна из которых содержится в следующей теореме. Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях. Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru , q=1-p. Без доказательства. Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х). Пример. Пусть вероятность появления

В частности, если Х~N(0,1) и Y~N(0,1), то Z=X+Y~N(0,2). Пример 2. Пусть случайная величины Х1,…,Хk—независимы и имеют показательное распределение с параметром λ>0, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Найти плотность распределения Свойства характеристических функций - student2.ru . Если x>0 Свойства характеристических функций - student2.ru . Если x≤0, то Свойства характеристических функций - student2.ru . Таким образом, Свойства характеристических функций - student2.ru . Далее при x>0 Свойства характеристических функций - student2.ru . Если x≤0, то Свойства характеристических функций - student2.ru . Проводя аналогичные рассуждения, получим: Свойства характеристических функций - student2.ru . §18. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
события А в каждом отдельном испытании р=0,8. Найти вероятность того. Что событие А появится 75 раз в 100 независимых испытаниях. (k=75, n=100.). По формуле Бернулли Свойства характеристических функций - student2.ru ­–неудобно. Воспользуемся теоремой Муавра-Лапласа: Свойства характеристических функций - student2.ru . Значение функции φ(-1,25)=φ(1,25)=0,1826 (по таблице). Тогда искомая вероятность: Свойства характеристических функций - student2.ru . Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т.е.0<p<1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях определяется выражением: Свойства характеристических функций - student2.ru , где Свойства характеристических функций - student2.ru —функция Лапласа, Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru . Без доказательства. Функция Лапласа—нечетная, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Значения находят по таблице. Пример. Пусть вероятность появления события А Р(А) в каждом отдельном испытании

Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru . Таким образом, Свойства характеристических функций - student2.ruформула свертки. Случай 2. Пусть Х и Y—непрерывные случайные величины. Теорема.Если Х и Y—независимые непрерывные случайные величины, то случайная величина Z=X+Y—также непрерывна, причем плотность распределения случайной величины Z Свойства характеристических функций - student2.ru —формула свертки. o Плотность распределения суммы независимых случайных величин называется композицией. Замечание. Если возможные значения X и Y неотрицательны, то формула свертки Свойства характеристических функций - student2.ru . o Закон распределения вероятностей называется устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон распределения (отличающийся, вообще говоря, параметрами). Нормальный закон обладает свойствами устойчивости, т.е. композиция нормальных законов также имеет нормальное распределение, причем математическое ожидание и дисперсия этой композиции равны соответственно суммам математических ожиданий и дисперсий слагаемых: Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru .

равна 0,8. Найдем вероятность того, что событие А появится более 69 раз в 100 независимых испытаниях.

n=100

p=0,8 Свойства характеристических функций - student2.ru .

q=0,2

k1=70 Свойства характеристических функций - student2.ru .

k2=100

Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Случайные величины.

o Случайной величиной Хназывается функция X(w), отображающая пространство элементарных исходов Ω во множестве действительных чисел R.

Пример. Пусть дважды подбрасывается монета. Тогда Свойства характеристических функций - student2.ru .

Рассмотрим случайную величину Х–число выпадений герба на пространстве элементарных исходов Ω. Множество возможных значений случайной величины:2,1,0.

w (г,г) (г,р) (р,г) (р,р)
X(w)

Множество значений случайной величины обозначается Ωх. Одной из важных характеристик случайной величины является функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х

значения Х со всеми возможными значениями Х.

Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru ; Свойства характеристических функций - student2.ru .

Найдем вероятность этих возможных значений. Для того чтобы Z=4 достаточно, чтобы величина Х приняла значения х1=1 и величина Y—значение y1=3. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равно 0,4 и 0,2.

Поскольку случайные величины Х и Y независимы, то события Х=1 и Y=3 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т.е вероятность события Z=1+3=4) по теореме умножения равна 0,4·0,2=0,08.

Аналогично найдем

Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойства характеристических функций - student2.ru

Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместимых событий Z=z2 и Z=z3. (0,32+0,12=0,44)

Z
P 0,08 0,44 0,48

Контроль: 0,08+0,44+0,48=1.

Рассмотрим общий случай:

Пусть Х и Y—независимые случайные величины, принимающие значения Свойства характеристических функций - student2.ru . Обозначим через Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru .

Z=X+Н. Обозначим через Свойства характеристических функций - student2.ru

Свойства характеристических функций - student2.ru

oпримет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х. Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойства характеристических функций - student2.ru . Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.   Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства функции распределения. Свойство 1.Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для Свойства характеристических функций - student2.ru таких что x1<x2 Свойства характеристических функций - student2.ru . Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х12.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru , представим в виде объединения двух несовместимых событий Свойства характеристических функций - student2.ru . Тогда по теореме сложения вероятностей получим Свойства характеристических функций - student2.ru , т.е. Свойства характеристических функций - student2.ru . Поскольку Свойства характеристических функций - student2.ru , то Свойства характеристических функций - student2.ru . Свойство 2.Для любых Свойства характеристических функций - student2.ru Свойства характеристических функций - student2.ru Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.

Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru , Свойства характеристических функций - student2.ru ; Следовательно,

Свойства характеристических функций - student2.ru .

Наши рекомендации