Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.

2) Частное двух непрерывных функций Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.

3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

Сложные функции

( Один из способов задания функции )

Пусть заданы две функции Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , причем область задания функции F содержит область значений функции Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , тогда Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru из этой области определения Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru ставится в соответствие Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , где Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru . Эта функция, определенная соответствием Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , называется сложной функцией, или суперпозицией функций Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru и F.

Примеры: 1. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru ; 2. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru . Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru - явно задана.

Классификация точек разрыва функции

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f (x) в точке х0 не является непрерывной.
Это значит, что или не существует предела функции в данной точке, или этот предел не совпадает с тем значением, которое функция принимает в этой точке.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f (x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Так для функции Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru в точке х = 0 односторонние пределы равны Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , то х = 0 является точкой разрыва второго рода

Основные правила нахождения пределов

Предел постоянной величины равен постоянной величине:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел суммы равен сумме пределов:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел разности равен разности пределов:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел произведения равен произведению пределов:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел отношения равен отношению пределов:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел функции в степени:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Предел корня из функции:

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

Свойства пределов функции

Пусть все функции, рассматриваемые ниже, определены на (а, в), кроме, быть может, фиксированной точки хо Î (а, в), тогда верны следующие свойства:

1. Если j ( х ) £ ¦ ( х) £ y ( х ) и

А = Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru = Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru Þ Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru = A.

2. Если ¦(х) = С (сonst) Þ Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru ¦(x) = C .

3. Если Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru cущ. Þ"с - const

Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru

4. Если существуют конечные пределы Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru и Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru , тогда:

а) Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru ;

б) Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru ;

в) Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru = Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция - student2.ru .

Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным на соответствующих свойствах пределов последовательностей. Для доказательства этих свойств введем понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций

18. Определение производной и дифференцируемости функции.

Наши рекомендации