Формула полной вероятности. 3.1.В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар

3.1.В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

3.2. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.

3.3.В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

3.4 В.ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

3.5. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых , во 2-ой урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

3.6. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

3.7.Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

3.8.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

3.9. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

3.10. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

Формула Бернулли

4.1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырехили три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

4.2.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются

4.3.Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

4.4. а) Найти вероятность того, что событие А по явится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие В появится в случае, если событие А на­ступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступ­ления события В, если будет произведено пять независи­мых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

4.5.Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов

4.6.В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения маль­чика принять равной 0,51.

4.7.Отрезок AВ разделен точкой С в отношении 2: 1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.8.На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три – на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.9.Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине от резка и не зависит от его расположения.

4.10. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Случайные величины

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). Найти значения входящих в формулу параметров, функцию распределения F(x), математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность попадания в интервал . Нарисовать графики функций f(x)и F(x).

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

Вопросы, выносимые на зачет по дисциплине «Математика»

Преподаватель: Глушко Ольга Васильевна

1. Испытания и события. Их классификация.

2. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности случайного события.

3. Основные понятия и формулы комбинаторики.

4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Формулировка, пример.

5. Полная группа событий, противоположные события. Определения, примеры.

6. Произведение событий, условная вероятность. Определение. Примеры.

7. Теорема умножения вероятностей. Формулировка, пример.

8. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

9. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

10 Формула полной вероятности.

11. Вероятность гипотез. Формула Байеса. Пример.

12. Формула Бернулли. Пример.

13. Локальная теорема Лапласа. Пример.

14. Интегральная теорема Лапласа.

15. Случайная величина (СВ). Основные определения.

16. Биномиальное распределение СВ.

17. Распределение Пуассона СВ.

18. Геометрическое распределение СВ.

19. Гипергеометрическое распределение СВ.

20. Числовые характеристики дискретных случайных величин (ДСВ).

21. Математическое ожидание ДСВ, его свойства.

22. Дисперсия ДСВ, его свойства.

23. Среднее квадратическое отклонение ДСВ.

24. Начальные и центральные теоретические моменты.

25. Закон больших чисел (неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли).

26. Определение функции распределения вероятностей СВ. Ее свойства.

27. График функции распределения СВ.

28. Определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ).

29. Вероятность попадания НСВ в заданный интервал.

30. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

31. Свойства плотности распределения НСВ.

32. Числовые характеристики НСВ.

33.Нормальное распределение НСВ.

34. Нормальная кривая, влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

35. Вероятность попадания в заданный интервал НОВ.

36. Правило трех сигм.

37. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

38. Определение показательного распределения НСВ.

39. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной СВ.

40. Числовые характеристики показательного распределения НСВ.

41. Функция надежности НСВ, показательный закон надежности.

42. Понятие о системе нескольких случайных величин.

43. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной СВ.

44. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.

45. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.

46. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

47. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

48. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме. Формулы Эйлера.