Задание из курса
Задание 1. Построение положения и величины ребер
многогранника за их координатами.
Условие.
построить проекцию призмы;
из точки Е построить перпендикуляр к прямой уровня АВ и найти следы данного перпендикуляра;
ребро ВЕ разделить точкой К в заданном отношении;
определить натуральную величину відрізка АС и угол наклона к плоскости проекции.
Координата точки задана по вариантам и приведена в таблице 1.
Ход выполнения задания:
1) за координатой строят проекцию точки А, С,Е
2) из точки А вправо вниз провести черту уровня по заданному углу и довжіні (а – горизонталь, бы – фронталь) в результате чего получим точку В;
3) соединив точку В с точкой Е получим ребро ВЕ призмы АВСfed (ребра AD и CF уровни за величиной и параллельные ВЕ) и таким образом построим призму;
4) из точки Е строим перпендикуляр к прямой АВ;
5) строим горизонтальный, фронтальный и профильный следы перпендикуляра (студенты заочного отделения строят два проекции призмы и соответственно находят только горизонтальный и фронтальный следы);
6) делимо ребро ВЕ точкой К в заданном отношении;
7) определяем методом прямоугольного треугольника натуральную величину ребра АС и угол его наклона к заданной плоскости проекции (? - угол наклона к горизонтальной плоскости проекции ? - угол наклона к фронтальной плоскости проекции) .
Необходимы теоретические сведения.
Если прямая в пространстве параллельна горизонтальной плоскости проекции (горизонтальна прямая), тогда фронтальная проекция прямой (рис. 1.1 а) параллельна вехе проекцій, а горизонтальная проекция ав является действительной величиной відрізка и образует с осью проекции действительную величину угла наклона прямой к фронтальной плоскости проекции (угол ?).
Прямая фронтальные и профильные владеют теми же свойствами, что и горизонтальні, но в соответствии с фронтальной (рис. 1.1 бы) и профильной (рис. 1.1 в) плоскостью проекции.
Если прямая в пространстве перпендикулярна горизонтальной плоскости проекции (горизонтально проекціювальна), тогда горизонтальная проекция прямой (рис. 1.2 а) точка, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к вехе проекции и есть действительной величиною відрізка. Фронтально проекціювальна и профильно проекціювальна прямая и влас-
тивості их проекции приведено соответственно на рис. 1.2 6, в. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная плоскости проекции, - прямая общего положения. В этом випадку всю проекцию такой прямой имеют непрямые углы с осью проекции (рис. 1.3).
Только после такой проверки свойств проекции прямой запись переносит на лист. На проекции показывают подвійними линией и двойной дугой натуральную величину ребер и углов наклона ребер к плоскости проекции.
Для определения натуральной величины ребер общего положения и углов нахилу его к плоскости проекции нужно применить способ прямоугольного треугольника. На рис. 1.4 рассмотрен способ прямоугольного треугольника, который заключается в том, что строится прямоугольный треугольник авв1, один катет ав которого есть проекция ребра, второй катет вв1 является разницей координаты другой проекции этого ребра, тогда гипотенуза ав1 - натуральна величина этого ребра, а угол между проекцией ав, и гипотенузой ав1, равняется углу наклона ребра к соответствующей плоскости проекции.
Чтобы определить углы наклона ребра к горизонтальной, фронтальной и профильной плоскости проекции, строят прямоугольные треугольники на всей проекции. На рис. 1.5 выполненное построение натуральной величины прямой АВ и углов но и ? наклону ее к плоскости проекции . Построение понятно из рисунка.
Вслед прямой есть точка пересечения прямої с плоскостью проекции, и эта точка (след) одновременно принадлежит прямой и плоскости проекцій (рис. 1.6 а) точки Н, F. Так как следует належить плоскости
Рис. 1.6
проекции, потому одна проекція следу (Н2|) есть точка пересечения проекции прямой с осью Х12, а другая проекция следа Нь Н2 строится как точка, которая принадлежит этой прямой. На рис. 1.6 бы приведен пример побудови проекции следа Н и F для прямой АВ, на рис. 1.7 у прямой CD.
Рис. 1.7
Образец выполнения задания.
Таблица 1
Варианты заданий к теме: «Точка и прямая»
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | ||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||
| а)? = 30° 1 = 25 мм 3) ВК:КЕ=2:3 4) ? | б) ?= 60?, 1= 30мм 3) ВК:КЕ=3:2 4) ? | б) ? = 45° 1 = 30 мм 3)ВК:КЕ=1:3 4)? | а)? = 45° 1 = 50 мм 3) ВК:КЕ=2:1 4)? | ||||||||||||
| Вариант 5 | Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 | ||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||
| б) ?= 45°, 1 = 35 мм 3) ВК:КЕ=2:1 4) ? | б) ? = 45° 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=2:4 4) ? | а) ?= 45° 1 = 50 мм 3)ВК:КЕ=2:3 4) ? | б) ?= 60° 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=2:3 4) ? | ||||||||||||
| Вариант 9 | Вариант 10 | Вариант 11 | Вариант 12 | ||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||
| б) ? = 30° 1 = 30 мм, 3)ВК:КЕ=1:3 4)? | а) ? = 60° ,1 = 20 мм 3)ВК:КЕ=3:1 4) ? | б) ? = 45° 1 = 30 мм 3)ВК:КЕ=1:2 4) ? | б) ? = 30° 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=4:2 4) ? | ||||||||||||
| Вариант 13 | Вариант 14 | Вариант 15 | Вариант 16 | ||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||
| а) ? = 60? 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=3:2 4) ? | б) ?= 45?, 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=4:3 4)? | б) ? = 30° 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=3:2 4)? | а) ? = 60° 1 = 60 мм 3) ВК:КЕ=3:1 4) ? |
Продолжение таблицы 1
| Вариант 17 | Вариант 18 | Вариант 19 | Вариант 20 | ||||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||||
| б) а = 30° 1 = 20 мм 3) ВК:КЕ=4:2 4) ? | б) а = 45 1 = 30мм 3) ВК:КЕ=2:4 4)? | а) ? = 60° 1 = 60 мм 3) ВК:КЕ=3:1 4)? | б) ? = 30° 1 = 20 мм 3) ВК:КЕ=4:1 4) ? | ||||||||||||||
| Вариант 21 | Вариант 22 | Вариант 23 | Вариант 24 | ||||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||||
| а) ? = 60°,1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=4:3 4) ? | б) ? = 60 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=3:2 4) ? | а) ? = 60 1 = 20 мм 3)ВК:КЕ=2:1 4) ? | б) ? = 60° 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=3:2 4) ? | ||||||||||||||
| Вариант 25 | Вариант 26 | Вариант 27 | Вариант 28 | ||||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||||
| а) ? = 60,1 = 40 мм 3) ВК:КЕ=2:1 4) ? | б) а = 30°, 1 = 30 мм 3)ВК:КЕ=3:1 4) ? | а)? =30°,1 = 30 мм 3)ВК:КЕ=3:1 4) ? | бы)? = 60°,1 = 60мм 3)ВК:КЕ=1:4 4) ? | ||||||||||||||
| Вариант 29 | Вариант 30 | Вариант 31 | Вариант 32 | ||||||||||||||
| А | А | А | А | ||||||||||||||
| С | С | С | С | ||||||||||||||
| Е | Е | Е | Е | ||||||||||||||
| а) ? = 45°, 1 = 30 мм 3)ВК:КЕ=1:2 4) ? | б) ? = 45°, 1 = 20 мм 3) ВК:КЕ=2:4 4) ? | а) ? = 30°, 1 = 25 мм 3) ВК:КЕ=2:3 4) ? | б) ? = 60 1 = 30 мм 3) ВК:КЕ=3:2 4) ? | ||||||||||||||
Вопрос для самоконтроля:
1.Как изображается в проекции прямая особенного и общего положения?
2.Какая прямая изображается в натуральную величину на проекции?
3.В каком разе угол наклона прямой к плоскости проекции изображается в натуральную величину?
4.В чем суть способа прямоугольного треугольника?
5.Почему одна из проекции фронтального, горизонтального следов лежат на осе проекции?
Задание 2. Плоскость. Взаимно перпендикулярная и параллельная плоскость
Условие:
а) определить натуральную величину расстояния от точки D к плоскости заданої треугольником АВС
б) построить плоскость, параллельную плоскости трикутника ABC, которая удалена от ее на 35 мм;
в) через вершину У треугольника АВС построить плоскость перпендикулярную заданному треугольнику, найти линию их взаимного пересечения, и показать видимость и невидимость элементов плоскости.
Координата точки по варіантах приведена в таблице 2.
Теоретические ввідомості
Расстояние от точки к плоскости измеряется перпендикуляром, опущенным из точки на эту плоскость. Следовательно, в этой задаче нужно из точки D провести перпендикулярную прямую к плоскости АВС, построить точку пересечения этой перпендикулярной прямой с плоскостью АВС и способом прямоугольного треугольника определить натуральную величину перпендикуляра.
Для построения перпендикуляра к плоскости нужно использовать свойство прямого угла. Прямой угол между прямой проекціюється в натуральную величину(90°) на соответствующую плоскость проекции, если хотя бы одна из его стороны параллельная к этой плоскости проекции (см. рис. 1.8).
Рис. 1.8
Использовав горизонталь и фронталь как прямую, параллельную к соответствующей плоскости проекции, построим проекции (nm и n'm' ) (рис. 1.9) прямой NM, перпендикулярной к плоскости АВС.
.Рис. 1.9
Для построения точки пересечения прямой с плоскостью необходимо скористатися свойствами проекціювальних плоскости. На рис. 1.10 через прямую n проведена фронтальная проекціювальна плоскость ?. Построена линия пересечения плоскости АВС и ? (1 2 = АВС x ?). Линия 12 одновременно принадлежат обоим плоскости и, соответственно, будет линией их пересечения. Пересечение проекции линии 1 2 из n определит горизонтальную проекцию N, точка пересечения прямой л с плоскостью АВС. Фронтальная проекция n' строится за принадлежностью точки N прямой n.
Видимость прямой n на проекции определяют с помощью конкурирующей точки (1, 3 и 4, 5). Построение понятно из рисунка.
Натуральную величину расстояния от точки D к плоскости АВС (отрезок DK) визначають способом прямоугольного треугольника (см. рис. 1.5). На рис. 1.11 приведен пример выполнения задания 2. Для построения плоскости, отдаленной на 35 мм от заданной в произвольной точке плоскости треугольника АВС, например, в вершине А, строят перпендикуляр к плоскости. На проекции перпендикуляра берут произвольную точку Е и способом прямоугольного треугольника определяют натуральну величину відрізка ЕА. Отложив на отрезке ЕА (гипотенузе) нужную длину (35 мм), строят подобные треугольники и получают проекцию точки М, которая отдалена на 35 мм от заданной плоскости.
Через точку М надлежат построить площину параллельную плоскости треугольника АВС. Два плоскости параллельные, если две прямая, которая пересекается, одной плоскости, соответственно параллельные двум прямой, которая пересекается, второй плоскости. Исходя из условий паралельності двух плоскости, плоскость определяют двома прямой но и в, которые проходят через точку М за условия что а АВ, а в АС.
Построение плоскости перпендикулярной к заданной выполняют опираясь на свойства перпендикулярности двух плоскости. Плоскость перпендикулярна ко второй плоскости, если она проходить через перпендикуляр к ей. Решение этой задачи сводится к построению перпендикуляра к заданной плоскости.
В приведенном примере через точку У треугольника АВС строят фронталь и горизонталь, перпендикулярні к прямой АС (см. рис. 1.11). Построена фронталь f и горизонталь h определят плоскость, перпендикулярную к плоскости АВС. Чтобы определить линию взаємного пересечения определенной плоскости, необходимо найти точку пересечения прямой АС или FH одной плоскости со второй плоскостью.
Образец выполнения задания
Таблица 2
| X | Y | Z | X | Y | Z | X | Y | Z | X | Y | Z | |
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 5 | Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 9 | Вариант 10 | Вариант 11 | Вариант 12 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 13 | Вариант 14 | Вариант 15 | Вариант 16 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 17 | Вариант 18 | Вариант 19 | Вариант 20 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 21 | Вариант 22 | Вариант 23 | Вариант 24 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 25 | Вариант 26 | Вариант 27 | Вариант 28 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D | ||||||||||||
| Вариант 29 | Вариант 30 | Вариант 31 | Вариант 32 | |||||||||
| A | ||||||||||||
| B | ||||||||||||
| C | ||||||||||||
| D |
Вопрос для самоконтроля:
1. Как задать плоскость перпендикулярную к прямой?
2. Как построить проекцию угла наклона прямой общего положения к плоскости общего положения?
3. Как построить проекцию перпендикуляра к заданной плоскости через задану точку?
4. Как построить проекцию линии пересечения двух плоскости?
5. Какие способы превращения проекции можно использовать для построения лінії пересечения двух плоскости?
6. С помощью каких способов превращения можно найти натуральную величину плоской фигуры?
Задание 3. Исследование многогранника с применением способов превращения проекции
Условие. В заданном многограннике определить:
а) расстояние между отмеченными паралельними ребрами;
б) кратчайшее расстояние между отмеченными мимолетными ребрами;
в) расстояние от вершины к ребру или грани;
г) расстояние от ребра к параллельной ему грани;
д) расстояние между параллельной гранью;
є) величину угла между двумя гранями при отмеченном ребре.
Варианты задания приведены в таблице 3.
Теоретические сведения
Для выполнения данного задания необходимо владеть метрическими свойствами проекции пары геометрической фигуры. Рассмотрим некоторые свойства в соответствии с заданием.
• Расстояние между двумя параллельной прямой проекціюється в натуральную величину на одну из плоскости проекции, если они будут проекціювальними к площини проекции (рис. 1.15 а).
• Расстояние между двумя мимолетной прямой проекціюється в натуральную величину, если их плоскость параллелизма есть проекціювальними (рис. 1.15 бы).
• Расстояние от точки к прямой проекціюється в натуральную величину, если прямая занимает проекціювальне положение (рис. 1.15 в).
• Расстояние от точки к плоскости проекціюється в натуральную величину, если площина будет проекціювальна (рис. 1.15г/
• Расстояние от прямой к параллельной ей плоскости проекціюється в натуральную величину, если плоскость занимает проекціювальне положение (рис. 1.15 д).
• Расстояние между двумя параллельной плоскостью проекціюється в натуральную величину, если эта плоскость будет проекціювальними (рис. 1.15 есть).
• Угол между двумя плоскостью (гранью) проекціюється в натуральную величину, якщо его плоскости (грань) проекціювальні к плоскости проекции (рис. 1.15 же).
Исходя из условия задания и свойств пары геометрической фигуры необходимо способами превращения проекции привести заданную геометрическую фигуру в проекціювальне положение. Способы превращения проекции используют для изменения положення определенного объекта относительно плоскости проекции, например, для приведения геометричних элементов (прямой и плоскости) общего положения в особенные положения (проекціювальні или параллельные к плоскости проекции).
В способе плоскопараллельного перемещения допускают неизменными площини проекцию, а в способе замены плоскости проекции - неизменным остается объект.
Способ плоскопараллельного перемещения является способом вращения вокруг невия-влених оси, перпендикулярной к плоскости проекции. Плоскопараллельное переміщення - перемещение при котором вся точка геометрической фигуры (объекта ) переміщаються во взаимно параллельной плоскости относительно плоскости проекции без изменения форми и размеров. При таком перемещении точка хранит свое расстояние к відповідних плоскости проекции.
В способе замены плоскости проекции новая плоскость проекции выбирается перпендикулярною к одной из тех, что остается, и потому расстояние от точки к плоскости, которая остается, хранит свою величину на новой проекции.
Способом превращения проекции можно разместить:
1. Прямую общего положения параллельно плоскости проекции;
2. Прямую общего положения в проекціювальне положение к плоскости проекции.
3. Плоскость общего положения параллельно плоскости проекции.
4. Плоскость общего положения в проекціювальне положение к плоскости проекцій.
К названной четырем задаче сводится роз'язання всей метрической задачи. Наприклад, на основе первой задачи определяют натуральную величину отрезков; на основе второй задачи - натуральную величину расстояния между точкой и прямой, двумя прямой, прямой и плоскостью, двугранный угол; с помощью третьей задачи определяют натуральні величину плоской фигуры, углы мимобіжності и пересечению; на основе четвертой задачі определяют расстояния между прямой и плоскостью и между двумя плоскостью.
В приведенном примере на рис. 1.16 способом замены плоскости проекции визначена расстояние между вершиной В ребром АЅ. Для этого двойной заменой плоскости проекции ребро АЅ превращено в проекціювальне положение. Сначала вибрано ось проекции х14 параллельно ребру АЅ. На построенной проекции ребро розмістилось параллельно /74, спроекціювалось в натуральную величину. Вторую ось х45 вибрано перпендикулярно к А4Ѕ4. На новой плоскости проекции ребро АЅ спроекціюється в точку АЅ(проекціювальне). Расстояние от А5 Ѕ5 к проекции В5 есть искомая відстань между прямимою АЅ и вершиной В .
На примере также способом плоско параллельного перемещения определена натуральна величина угла между гранью при ребре АВ . Ребро АВ, как общее ребро для граней АВs и АВС двумя перемещениями приведено в проекціювальне положение и соответственно грани АВs и АВС - проекціювальні.
Угол а между проекцией плоскости - искомый угол ?.
Образец выполнения задания.
Таблица 3
Варианты заданий к теме «Исследования многогранника»
 |  |  |  АВ и Еf |
 |  ? при ЭД |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
Вопрос для самоконтроля:
1. В чем суть способов плоско параллельного перемещения и замены плоскости проекцій?
2. Как определить ось вращения при использовании способа плоско параллельного перемещения?
3. Как превратить плоскость общего положения в проекціювальне положение?
4. Каким превращением можно разместить прямую или плоскость параллельно площині проекции?
5. Можно ли прямую общего положения заменой одной плоскости проекции розмістити в проекціювальне положение?
Задание 4. Перерез многогранника плоскостью и построение натуральной величины перерезу
Условие. Построить перерез данного многогранника плоскостью общего положення. Определить натуральную величину фигуры перерезу. Построить развертку фигуры и нанести линию перерезу на развертку.
Теоретические сведения.
Основой для выполнения этого задания является задача на пересечение прямой из площиною. Эту задачу можно развязать, использовав вспомогательную секущую плоскость (см. рис. 1.10). При использовании способа вспомогательной секущей плоскости проекціювальні январе плоскость предлагается проводить через ребра многогранника. Задача сводится к определению точки встречи прямой с проекціювальною плоскостью.
Для упрощения решения задачи целесообразнее использовать один из способов перетворення проекции: косоугольное вспомогательное проекціювання; замену плоскости проекции.
При косокутньому вспомогательном проекціюванні на горизонтальную или фронтальную плоскость проекции или на вертикальную, проекціювання выполняют в направлении прямой, которая принадлежит секущей плоскости общего положения. При этом плоскость спроекціюється в прямую линию (след плоскость), а многогранник - в новую вспомогательную проекцию.
Пересечение вспомогательной проекции ребер многогранника со следом плоскости перерезу (проекціювальне положение плоскости) определит вершину многоугольника перерезу. Обратном проекціювання строят их фронтальная и горизонтальная проекция.
Пересечение наклонной треугольной пирамиды плоскостью общего положения зображено на рис. 1.19. Здесь использован косоугольное вспомогательное проекціювання на плоскость проекции П1 в направлении фронталі плоскости. При таком проекціюванні плоскость спроекціюється своим горизонтальным следом /?,, а ребра пирамиды - пучком прямой. Центр пучка достанем, если вершину пирамиды 5 спроекціюємо в направлении фронталі на площині П1 в точку 5. Сполучивши центр пучка 51 с точкой основы пирамиды, отримаємо вспомогательную проекцию пирамиды. В перетині вспомогательной проекции ребер из проекцією плоскости /т, будем иметь три вспомогательной проекции: ее, 2і, Из точки пересечения ребер пирамиды с секущей пощиною
Обратным проекціюванням в направлении фронталі находим точку 1-, 2Ь 31, а затем - фронтальная проекция 12, 22, 32 этой точки. Соединяя их, получим трикутник перерезу.
При замене плоскости проекции задача сводится к построению новой проекции, где плоскость перерезу должна занимать проекціювальне положение, а допоміжна проекция многогранника занимает соответствующее положение при данном способе превращения проекции.
Способ построения перерезу многогранника плоскостью студент выбирает самостійнотак, а построение натуральной величины перерезу желательно выполнить методом вращение вокруг линии уровня. Задание по вавріантам студент выбирает из таблицы.
Образец выполнения задания
Вопрос для самоконтроля:
1. Какая позиционная задача положена в основу построения плоского перерезу многогранника?
2. В каких случаях целесообразнее применять способ вспомогательного проекціювання, а в которых - способ вспомогательной секущей плоскости?
3. Какими способами можно определить натуральную величину перереза?