Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d?

Решение. Прямые a и b лежат в одной плоскости и поэтому любая прямая, пересекающая каждую из них, лежит в той же плоскости. Следовательно, если бы каждая из прямых a, b пересекала обе прямые c и d, то прямые c и d лежали бы в одной плоскости с прямыми a и b, а этого быть не может, так как прямые c и d скрещиваются.

Пример 2. Доказать, что углы с соответственно параллельными сторонами или равны между собой, или в сумме составляют два прямых угла.

Решение. На сторонах углов DАЕ и D1А1Е1 отложим АВ = А1В1, АС = А1С1. Точки А и А1, В и В1, С и С1 соединим отрезками АА1, ВВ1 и СС1 (рис. 9).

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 9

Четырехугольник АВВ1А1 - параллелограмм, так как у него стороны АВ и А1В1 равны и параллельны. То же самое можно сказать и о четырехугольнике АСС1А1. Из сказанного следует, что ВВ1 равно и параллельно АА1, а АА1 равно и параллельно СС1, откуда ВВ1 и СС1 равны и параллельны, следовательно, ВСС1В1 - параллелограмм, поэтому ВС = В1С1.

Рассмотрим Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru АBС и Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru А1В1С1. Они равны по трем соответственно равным сторонам. Отсюда следует, что Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru и Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . Далее, Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru как сумма смежных углов. Заменяя Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru на равным ему Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru получим Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru .

Задания к практической работе

Задание 1. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба с ребром а.

Задание 2. Концы данного отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 и 44 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

Задание 3. Отрезок пересекает плоскость, концы его отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найдите расстояние середины этого отрезка от плоскости.

Задание 4. Дано Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . Проведите через прямую a плоскость, параллельную прямой b.

Задание 5.Проведите через данную точку отрезок так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна длине отрезка.

Задание 6. В тетраэдре SABC проведите сечение через середину ребра AC параллельно ребрам AB и CS.

Задание 7. Две прямые, проведенные из точки S, пересекают три параллельные плоскости соответственно в точках Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru и Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . Известно, что A1A2=4 см, B2B3=9 см, A2A3=B1B2. Вычислите A1A3 и B1B3.

Задание 8. В тетраэдре SABC проведены сечения A1B1C1 и A2B2C2, плоскости которых параллельны грани ABC. Известно, что SB1=A1A2=6 см, C1C2=12 см, SA1=4 см. Вычислите SA, SB, SC.

Контрольные вопросы

1. Какие прямые называются скрещивающимися?

2. Назовите признак параллельности прямой и плоскостей.

3. Назовите признак параллельности двух плоскостей.

4. Что называют углом между двумя плоскостями?

Рекомендуемая литература:1.2, 2.2

Практическая работа №46

Тема:Перпендикулярность прямых и плоскостей

Цель: формирование навыков доказательства перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, используя основные аксиомы и теоремы стереометрии

Вид работы:индивидуальный

Время выполнения:6 часов

Теоретический материал

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 10

На рисунке 10 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru .

Теорема 9. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

В следующих двух теоремах говорится о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Теорема 10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух па­раллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 11. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 11

На рисунке 11 изображены такие прямые a и b и плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , о которых говорится в теоремах 10 и 11.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 12).

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 12

Перпендикуляр и наклонная к плоскости

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки называется проекцией наклонной.

Так как расстояния от точек прямой до параллельной ей плоскости одинаковы, то расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой ее точки до этой плоскости.

Теорема 12. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (теорема о трех перпендикулярах).

На рисунке 13 к плоскости Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru проведены перпендикуляр АВ и наклонная АС. Прямая а, лежащая в плоскости а перпендикулярна ВС - проекции наклонной АС на плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . По теореме 12 прямая а перпендикулярна наклонной АС. Если было бы известно, что прямая а перпендикулярна наклонной AC, то по теореме 12 она была бы перпендикулярна и ее проекции – ВС.

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 13

Перпендикулярность плоскостей

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плос­костей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

На рисунке 14 изображены две плоскости Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru и Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , которые пересекаются по прямой а. Плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru перпендикулярна прямой а и пересекает Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru и Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . При этом плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru пересекает плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru по прямой с, а плоскость Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru - по прямой d, причем Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , т. е. по определению Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru ,

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 14

Теорема 13. Если плоскость проходит через прямую, перпенди­кулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей).

Теорема 14. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости.

Упражнения с решениями

Пример.Катеты прямоугольного треугольника АBС равны 15 и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр СD = 35 м (рис 15). Найти расстояние от точки О до гипотенузы АВ.

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru

Рисунок 15

Решение. Проведем Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru . По условию Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru - перпендикуляр к плоскости, т.е. Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru - наклонная, Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru - ее проекция, поэтому по теореме о трех перпендикулярах из условия Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru следует, что Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru .

Из Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru АВС находим Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , т.е. АВ=25 м. Для отыскания высоты СЕ в Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru АВС находим Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru .

С другой стороны, Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru откуда Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , т. е. СЕ = 12 м.

Из Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru по теореме Пифагора

Пример 1. Прямые a и b параллельны, а прямые c и d скрещиваются. Может ли каждая из прямых a и b пересекать обе прямые c и d? - student2.ru , т.е. DE=37 м.

Наши рекомендации