Операции над множествами

О С Н О В Ы Т Е О Р И И М Н О Ж Е С Т В

Понятие множества. Подмножество. Равенство множеств.

Операции над множествами.

Понятие множества является первичным, исходным и не определяется через другие более простые понятия. Подмножеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита, а его элементы - малыми. Для того, чтобы показать, что какой-либо объект является элементом того или иного множества, вводится понятие принадлежности.

Î - знак принадлежности;

аÎА – читается «элемент а принадлежит множеству А»;

аÏА – читается «элемент а не принадлежит множеству А».

Для наиболее важных числовых множеств используют фиксированные обозначения:

ℕ - множество всех натуральных чисел;

ℤ - множество всех целых чисел;

ℚ - множество всех рациональных чисел;

ℝ - множество всех действительных чисел.

Множество считается заданным, если по любому объекту можно судить, является ли он элементом данного множества или нет.

Основные способы задания множества:

1. С помощью перечисления элементов.

Например, если множество А состоит из элементов а₁,а₂,…,а_n, то записывают А={а₁,а₂,…,а_n}.

2. Указанием характеристического свойства элементов:

А={x | …} (читается «множество А состоит из элементов х таких, что …).

Определение1. Множества А и В называются равными и обозначаются А=В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, и каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Например, пусть А={1,2,3}, В={1,2,1,3}. Тогда А=В.

Если множества А и В не равны, то записывают А¹ В.

Определение 2. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В и обозначается АÍВ.

Í - знак включения.

АÍ В – читается «А содержится в В».

Определение 3. Если АÍВ и А¹В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается АÌ В.

Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Пустое множество единственно. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

Над множествами вводятся три основные операции:

1) пересечение - Ç;

2) объединение - È;

3) разность - \.

Определение 5. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В одновременно и обозначается АÇВ, т.е. АÇВ={x| xÎА и xÎВ}.

Операции над множествами удобно пояснять на диаграммах Эйлера-Венна.

xÎ АÇВ<=> xÎА и xÎВ

АÇВ

Из определения 5 следует, что xÏ АÇВ<=> xÏА или xÏB.

Определение 6. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, и обозначается: АÈВ, т.е. АÈВ={x| xÎА или xÎВ}.

xÎ АÈВ<=> xÎА или xÎВ.

Из определения 6 следует, что xÏ АÈВ<=> xÏА и xÏB.

АÈВ

Замечание. Если элемент х принадлежит множеству А, то он принадлежит объединению множества А с любым другим множеством.

Определение 7. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В, и обозначается: А\В, т.е. А\В={x| xÎА и xÏВ}.

А\В

Определение 8. Если АÍВ, то разность В\A называется дополнением к множеству А во множестве В.

Определение 9. Универсальным множеством называется множество, содержащее все рассматриваемые нами множества (в процессе какого-либо рассуждения) в качестве своих подмножеств и обозначается U.

U\A= А - дополнение множества А.

Определение 10. Дополнением множества А называется разность U\A и обозначается .

Замечание. Из определений 1 и 2 =>А=В<=>АÍВ и ВÍА.