Теорема Шеннона для канала с помехами.

Пусть - производительность источника, тогда, если производительность источника меньше пропускной способности канала ( ), то можно передовать сообщения со сколь угодно высокой достоверностью.

Шеннон впервые указал на то, что можно сделать. Ему принадлежит идея помехоустойчивого кода. Ранее, до Шеннона, повышение помехоустойчивости достигалось многократной передачи одной и той же информации и вынесением решения по большинству голосов. Это было крайне не рационально для канала, так как для передачи требовалось большее время. Теорема Шеннона, хотя и не конструктивна, утверждает что достоверность можно повысить другим методом – путем построения помехоустойчивого кода. В дальнейшем это положение было подробно разработано с применением математического аппарата комбинаторики и в теории связи появилось научное направление "помехоустойчивое кодирование". В данном разделе мы не будем его подробно рассматривать, а ограничимся изучение помехоустойчивого кода с проверкой на четность. Формирование этого кода идет по схеме показанной на рис.2.

Кодер канала формирует помехоустойчивый код по первичному коду сообщения. Рассмотрим как это делается. Допустим первичный код представлен r разрядами (в данном на рис.3 примере 6 разрядов).

Рис.3

В комбинацию кода вводится еще один разряд k, который называется контрольным. Его значение определяется по очень простому правилу: количество единиц во всем кодовом слове должно быть четным. Например, r разрядов 011101, контрольный разряд k равен 0; r – 001110, k – 1. Это правило формирования кода известно в приемнике и его задача проверить выполнение условия. Если количество единиц четное, ошибок нет и информация поступает получателю. Если же нет, приемник вырабатывает сигнал ошибки, по которому запрашивается повторная передача. Такое правило позволяет обнаружить однократные ошибки. Существуют более сложные помехоустойчивые коды не только обнаруживающие, но и исправляющие ошибки.

2.1 Ортогональные ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее. Это определение накладывает свой отпечаток прежде всего на свойство базисных функций. Ряд ортогонален, если

. (3)

Введем новые базисные функции нормированные следующим образом:

Свойство нормированных ортогональных базисных функций следующее:

(4)

Заданный сигнал теперь запишется так:

, (5)

а сам ряд получил название ортонормированного ряда.

Далее разберем как находить коэффициенты b_k. Для этого в (5) умножим левую и правую часть на j_k b проинтегрируем произведения за период:

. (6)

Воспользовавшись свойством ортогональности в правой части, получим

. (7)

Интеграл в (7) легко может быть вычислен любым способом.

Представление сигнала в виде ортогонального ряда позволяет получить полные сведения о сигнале в более сжатой форме, т.е. ту же информацию, но при меньшем количестве параметров. В теории сигналов в основном применяются ортогональные ряды Фурье, Уолша и Котельникова.

Средняя мощность периодического сигнала

Важность этой характеристики заключается в том, что она отражает не только величину сигнала, но и его длительность. Это необходимо учитывать при приеме сигнала , при его различении. Известно, что средняя за период мощность равна

. (18)

Выразим S(t) через ряд Фурье:

(19)

Первый интеграл в (19) выражает мощность постоянной составляющей сигнала:

. (20)

Второй интеграл, берется от знакопеременной функции, имеющей целое число периодов на интервале интегрирования T. При любом n он будет равен нулю.

Прежде чем решать третий интеграл проведем анализ подынтегральной функции. Обратимся к простому примеру. Допустим вместо бесконечной суммы имеем квадрат трехчлена:

(21)

В этом простом выражении есть сумма квадратов членов и сумма произведений различных членов с дополнительным коэффициентом. Таким образом подынтегральное выражение может быть записано в виде двух сумм и третий интеграл в (19) будет:

. (22)

Интеграл от двойной суммы будет равен нулю по свойству ортогональности, а первый представляет собой хорошо известное выражение средней мощности гармонического сигнала, в качестве которого выступает n-ая гармоника:

. (23)

Таким образом, (22) является суммой средних мощностей гармоник,

, (24)

и искомая средняя мощность периодического сигнала будет равна

(25)

Это выражение получило название «равенство Парсеваля».

Интересно заметить, что мощность не зависит от фаз гармонических составляющих сигнала и результирующая мощность складывается из мощностей отдельных гармоник.

Практическая ширина спектра

Реальные устройства систем связи и управления содержат инерционные элементы (индуктивности, емкости). Поэтому невозможно передавать по такой системе гармонические составляющие сколь-угодно больших и малых частот.

Очевидно, что передавать следует гармонические составляющие с относительно большими амплитудами, содержащими большую долю энергии.

Поэтому вводится понятие практической ширины спектра сигнала.

К нему можно подходить с 2-х точек зрения:

1. Сохранить основную энергию сигнала, т.е. учитывать ширину спектра, в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

Рис. 10.3

2. Сохранить не только энергию, но и форму сигнала. Это требование резко расширяет требуемую полосу частот.

Пример