Методика факторного анализа в случае нескольких объясняющих факторов

В общем случае для объяснения корреляционной матрицы потребуется не один, а несколько факторов. Каждый фактор характеризуется столбцом,каждая переменная - строкойматрицы . Фактор называется генеральным, если все его нагрузки значительно отличаются от нуля и он имеет нагрузки от всех переменных. Генеральный фактор имеет нагрузки от всех переменных и схематически такой фактор изображен на рис.1. столбцом .Фактор называется общим, если хотя бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля. Столбцы , на рис. 1. представляют такие общие факторы. Они имеют нагрузки от более чем двух переменных. Если у фактора только одна нагрузка, значительно отличающаяся от нуля, то он называется характерным фактором (см. столбцы на рис. 1.) Каждый такой фактор представляет только одну переменную. Решающее значение в факторном анализе имеют общие факторы. Если общие факторы установлены, то характерные факторы получаются автоматически. Число высоких нагрузок переменной на общие факторы называется сложностью. Например, переменная на рис.1. имеет сложность 2, а переменная - три.

Рис. 1. Схематическое изображение факторного отображения. Крестик означает высокую факторную нагрузку.

Итак, построим модель

, (4)

где - ненаблюдаемые факторы m < k,

- наблюдаемые переменные (исходные признаки),

- факторные нагрузки,

- случайная ошибка связанная только с с нулевым средним и дисперсией :

и - некорpелированы,

- некоррелированные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией .

Тогда

( 5)

Здесь - i-ая общность представляющая собой часть дисперсии , обусловленная факторами, - часть дисперсии , обусловленная ошибкой. В матричной записи факторная модель примет вид:

(6)

где - матрица нагрузок, - вектор факторов, - вектор ошибок.

Корреляции между переменными, выраженные факторами, можно вывести следующим образом:

, (7)

где -диагональная матрица порядка , содержащая дисперсии ошибок[i]. Основное условие: - диагональная, - неотрицательно определенная матрица. Дополнительным условием единственности решения является диагональность матрицы .

Имеется множество методов решения факторного уравнения. Наиболее ранним методом факторного анализа является метод главных факторов, в котором методика анализа главных компонент используется применительно к редуцированной корреляционной матрице с общностями на главной диагонали. Для оценки общностей обычно пользуются коэффициентом множественной корреляции между соответствующей переменной и совокупностью остальных переменных.

Факторный анализ проводится исходя из характеристического уравнения, как и в анализе главных компонент:

(8)

Решая которое, получают собственные числа λ_i и матрицу нормированных (характеристических) векторов V, и затем находят матрицу факторного отображения:

Для получения оценок общностей и факторных нагрузок используется эмпирический итеративный алгоритм, который сходится к истинным оценкам параметров. Сущность алгоритма сводится к следующему: первоначальные оценки факторных нагрузок определяются с помощью метода главных факторов. На основании корреляционной матрицы R формально определяются оценки главных компонент и общих факторов:

(9)

где - соответствующее собственное значение матрицы R;

- исходные данные (вектор-столбцы);

- коэффициенты при общих факторах;

- главные компоненты (вектор-столбцы).

Оценками факторных нагрузок служат величины

(10)

Оценки общностей получаются как

(11)

На следующей итерации модифицируется матрица R - вместо элементов главной диагонали подставляются оценки общностей, полученные на предыдущей итерации; на основании модифицированной матрицы R с помощью вычислительной схемы компонентного анализа повторяется расчет главных компонент (которые не являются таковыми с точки зрения компонентного анализа), ищутся оценки главных факторов, факторных нагрузок, общностей, специфичностей. Факторный анализ можно считать законченным, когда на двух соседних итерациях оценки общностей меняются слабо.

Примечание. Преобразования матрицы R могут нарушать положительную определенность матрицы R⁺ и, как следствие, некоторые собственные значения R⁺ могут быть отрицательными.

Для лучшей интерпретации полученных общих факторов к ним применяется процедура вращения. Если факторный анализ ведется в терминах главных компонент, то значения факторов могут быть вычислены непосредственно. В случае вращения главных компонент соотношения, связывающие исходные переменные и значения факторов, несколько усложняются. Ниже в матричном виде приведено соотношение, оптимальное по скорости вычисления, а также независимое от метода вращения факторов:

( 12)

- повернутая матрица A,

A - матрица коэффициентов при общих факторах,

- диагональная матрица m собственных членов,

- матрица исходных данных,

- матрица m повернутых факторов.

При определении числа общих факторов руководствуются следующими критериями: число существенных факторов можно оценить из содержательных соображений, в качестве числа общих факторов m берется число собственных значений, больших либо равных единице (по умолчанию), выбирается число факторов, объясняющих определенную часть общей дисперсии или суммарной мощности

Литература по теме 6:

1. Окунь Я. Факторный анализ/ пер. с польск. – Москва: «Статистика», 1974. - 200 с.

1. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы/ - Москва, «Финансы и статистика», 2000. - 352

[i] Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы/ - Москва, «Финансы и статистика», 2000. - 352 с.