Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы)

Если X₁, X₂, . . . , X_n−r — любая фундаментальная система приведенной системы (3), а С_n — любое частное решение неоднородной системы (3), то сумма X = C_n + ₁ X₁ + ₂ X₂ + . . . + _n−r X_n−r (6) при любых произвольных постоянных _j, , является общим решением неоднородной системы (1).

Доказательство. Пусть С – общее решение неоднородной системы (1), С_n – любое частное решение неоднородной системы (1). Тогда ( С – С_n ) – решения неоднородной системы (3). По теореме о структуре общего решения однородной системы С

С – С_n = ₁ X₁ + ₂ X₂ + . . . + _n−r X_n−r ,

где ₁, .., _{n - r} - произвольные постоянные.

X₁, .. , X_{n – r} - ФСР приведенной системы (3)

C = C_n + ₁ X₁ + ₂ X₂ + . . . + _n−r X_n−r .

Билет № 16

Векторная ортогональная проекция напр. Отрезка АВ на ось l называется напр отрезок А’B’, где А’иB’- проекции точек А и В на ось l.

Теорема 1. 1. Ортогональная проекция вектора a на направление ненулевого вектора l равна длине |a|, умноженной на косинус угла φ между векторами a и l, т. е. где (a, l) — угол между векторами a и l.

◄ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора a с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1. 10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора a=AB на прямую L.

Если угол φ между векторами a и l острый (как это показано на рис. 1. 10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция a на направление вектора l равна длине |AC | = |AB| cos φ катета AC треугольника ABC.

Если угол φ тупой (см. рис. 1. 10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные cтоpоны от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора a равна - |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π - φ, поэтому |AC | = |AB | cos(π - φ) = - |AB| cos φ.

Если же φ = π/2 или a = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нyлевым вектором. Однако cos π/2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. ►

Теорема 1. 2. Ортогональная проекция cyммывeктopoв на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число:

◄ Доказательство следует из рис. 1. 11. В случае, изображенном на рис. 1. 11, а, имеем пр_l a = |AB|, пp_l b = -|BC|, пp_l(a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. В случае, изображенном на рис. 1. 11, б, пp_l a = |AB| и, если λ > 0, пp_l(λa) = |AE| = λ|AB|. Оcтальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ ≤ 0 в случае б) рассматриваются аналогично. ►

Билет №17

Билет №24

Опр:Непустое множество M векторов линейного пространства L называется

подпространством, если

I. для любых , ∈M + ∈M;

II. для любого ∈M и любого α ∈ K α ∈M.

Подпространство M обладает следующими свойствами:

1) если ... - вектора линейного подпространства М, то любая их комбинация α …α тоже лежит в подпространстве М

2) Линейное подпространство М само является линейным пространством

Д: 1) Основываясь на условия, соответствующие линейному подпространству (для любых , ∈M + ∈M;для любого ∈M и любого α ∈ K α ∈M.), можно сделать вывод, что линейная комбинация векторов ... тоже лежит в этом подпространстве.

2) Для любого :

Доказать, что 1) множество всех решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства

2) размерность пространства решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными равна n-r где r=rangA

Д:1) Пусть Х1 Х2 – частные решения однородной СЛАУ, Х – общее решение однородной СЛАУ, тогда для Х, Х1, Х2 выполняются следующие условия:

Х=Х₁+Х₂

Х=Х₂

Х=α₁Х₁+…+α_mХ_m

Таким образом Х линейное подпространство арифметического пространства

2) Т.к. однородная СЛАУ имеет n-rрешений, то есть Х=Х₁+…Х_n-rа Х является линейным подпространством М, то размерность М равна количеству решений однородной СЛАУ, значит dimM=n-r (dim– размерность)

Билет №28

Коллинеарные прямые

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.

Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями:

(1)

Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (1) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (1) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что

и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (1) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .

Таким образом, прямые (1) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (1) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

Условия параллельности или совпадения прямых (1) можно записать в виде

Условие коллинеарности двух прямых (1) можно записать в виде

Пересекающиеся прямые

Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (1) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

(2)

При этом условии система уравнений

имеет единственное решение , которое определяет точку пересечения прямых (1).

Угол между прямыми.Пусть две прямые ℓ₁ и ℓ₂ с направляющими векторами = (m₁, n₁) и = (m₂, n₂) заданы своими каноническими уравнениями:

ℓ₁ : ;

ℓ₂ : .

Угол ϕ между прямыми ℓ₁ и ℓ₂ равен углу между их направляющими векторами и , если ( , ) > 0, и дополняет этот угол до π, если ( , ) < 0.

Следовательно,

_.

Если прямые заданы общими уравнениями

A₁x + B₁y + C₁ = 0,

A₂x + B₂y + C₂ = 0, то,

учитывая связь между координатами направляющих векторов = (m₁, n₁) и = (m₂, n₂) и их нормалями = (A₁, B₁) и = (A₂, B₂):

A₁ = n₁, B₁ = −m₁; A₂ = n₂, B₂ = −m₂,

из можно получить еще одну формулу:

_.

· Углом от прямой ℓ₁ до прямой ℓ₂ называется угол от направляющего вектора = (m₁,n₁) прямой ℓ₁ до направляющего вектора = (m₂,n₂) прямой ℓ₂. Его обозначают ∠(ℓ₁ ℓ₂).

Определенный таким образом угол, вообще говоря, зависит от ориентации направляющих векторов и прямых ℓ₁ и ℓ₂. Если направляющие векторы выбраны так, как показано на рис. a, то

(положительным считается направление вращения против часовой стрелки).

Если же направляющие векторы выбраны так, как показано на рис.б, то

, где ϕ — угол между векторами и , показанный на рис. a.

Таким образом запишем

.

можно эту формулу переписать через координаты нормалей = (A₁,B₁) и = (A₂,B₂) к прямым:

.

Перейдя от общих уравнений прямых к уравнениям с угловыми коэффициентами

y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, найдем связь между координатами нормалей и угловыми коэффициентами: k₁ = − , k₂ = − .

Теперь, разделив числитель и знаменатель правой части на B1B2, получим

Это соотношение запишется в виде tg[∠(ℓ1 7→ ℓ2)] = k2 − k1 1 + k1k2 .

Прямые ℓ₁ и ℓ₂ параллельны, если угол между ними равен нулю. Условия параллельности двух прямых:

k₁ = k₂

Прямые ℓ₁ и ℓ₂ будут перпендикулярны, если угол между ними будет равен π/2. Это возможно при выполнении условий

m₁m₂ + n₁n₂ = 0, A₁A₂ + B₁B₂ = 0, k₁ = − 1 /k₂ (tg π /2 → ∞, 1 + k₁k₂ = 0)

Формулы определяют условия перпендикулярности двух прямых.

Если угол между прямыми отличен от нуля, т.е.

k₁ ≠k₂

то они пересекаются в единственной точке x₀, y₀, которую можно найти, например, из системы

A₁x + B₁y = −D₁,

A₂x + B₂y = −D₂.

Единственность решения x₀, y₀ системы и, следовательно, точки пересечения гарантирована условием

Для параллельных прямых из системы следует, что они либо совпадают, и в этом случае ,

либо вообще не пересекаются, и в этом случае

В первом случае система не определена и имеет бесконечное множество решений, а во втором система несовместна.