Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение

Линейным однородным уравнением n-го порядка называют уравнение вида

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru a – заданные непрерывные функции относительно x, так же коэффициенты уравнения.

Частные решения y1=y1(x) , y2=y2(x), …, yn=yn(x) уравнения образуют фундаментальную систему некотором интервале , если всюду в этом интервале отличен от нуля определитель Вронского

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru .

Ø С постоянными коэффициентамит.е. Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

a – заданные действительные числа

Общее решение будет y=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x)=0 y1(x) ,y2(x),…, yn(x) - частные решения уравнения, образующие фундаментальную систему в рассматриваемом интервале т.е. всюду отличен от нуля определитель Вронского. Частные решения будем искать в виде y=ekx

Подставив в уравнение и преобразовав получим характеристическое уравнение

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

Уравнение имеет n решений. Эти корни будут действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Если комплексное число α+iβ является корнем, то сопряжённое число α -iβ тоже является корнем, так как уравнение имеет действительные коэффициенты.

· Каждому простому действительному корню k характеристического уравнения соответствует одно решение ekx исходного уравнения .

· Каждому действительному корню k кратности r характеристического уравнения отвечают r решений исходного уравнения вида ekx, xekx, x2ekx, …, xr-1ekx исходного уравнения

· Каждой паре комплексно сопряжённых корней k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения соответствует одна пара частных решений исходного уравнения

eαxcosβx и ieαxsinβx

· Каждой паре комплексно сопряжённых корней кратности μ k1= α+iβ и k2= α-iβ характеристического уравнения отвечают μ пар решений исходного уравнения

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

11. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного диф. Уравнения второго порядка.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

Общее решение данного уравнения представляется в виде суммы какого-либо частного решения y*=y*(x) этого уравнения и и общего решения Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru соответствующего однородного уравнения т.е.

y= y*+ Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru или y= y*(x) +C1y1(x)+C2y2(x)

Для доказательства нужно два факта:

1) Сумма y*+ Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru удовлетворяет исходному уравнению при любых значениях входящих в него постоянных С1 и С2.

Подставляя данную сумму в исходное уравнение получим

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru но Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru - общее решение соответствующего однородного уравнения следовательно вторая скобка обращается нуль, а первая скобка равна f(x). Таким образом получаем тождество, что означает данная сумма удовлетворяет исходному уравнению.

2) Для любых начальных условий можно подобрать такие значения постоянных С1 и С2 , при которых функция y= y*(x) +C1y1(x)+C2y2(x) будет удовлетворять этим начальным условиям.

Через определитель Вронского начальных условий

12. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка.

y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 , где C1(x) и C2(x) – новые искомые функции. Одну из них можно выбрать произвольно или наложить на неё дополнительные требования, а вторую выбрать так чтобы функция y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 была решением неоднородного уравнения.

Возьмём производную и получим Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru возьмём что Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

Тогда Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru . Возьмём ещё раз производную и представим представим что y* решение неоднородного уравнения т.е. Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru

Но поскольку y1 и y2 – решения однородного уравнения суммы в скобках обращаются нуль получаем

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru запишем вместе с Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru и получим систему двух линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru :

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru Решив систему найдём Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru , Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru . Интегрируя получим:

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru , Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru ,где Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru и Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru - произвольные постоянные, которые примем равные нулю. Подставляя найденное в y*= C1(x)y1 +C2(x)y2 получим искомое частное решение неоднородного уравнения y*= Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru y1 + Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф. Уравнения n-го порядка. Характеристическое уравнение - student2.ru y2

Наши рекомендации