М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из
N (1; - 5; - 3). координат конца этого вектора вычесть одноименные
Определить: координаты его начала, то есть:
.
.
.
Ответ: .
Упражнения:
1. Определить координаты: 1) ; 2) ;
3) , если К(- 2; 2; - 1), Е(0; - 5; 4).
2. Определить координаты , если А(- 1; 0; 4), В(- 2; - 3; 7), .
8. Действия над векторами, заданными координатами
Сложение векторов, заданных координатами
Задача:
Дано: ; ; .
Определить: .
Решение:
Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам: ; .
;
- разложение по ортам, где х = х1 + х2; у = у1 + у2. .
Правило: При сложении векторов, заданных координатами, их одноименные координаты складываются.
.
.
Вычитание векторов, заданных координатами
Задача:
Дано: ; ; .
Определить: .
Решение:
Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам:
; . ;
- разложение по ортам, где х = х1 - х2; у = у1 - у2. .
Правило: При вычитании векторов, заданных координатами, их одноименные координаты вычитаются.
.
.
Умножение вектора, заданного координатами, на число
Задача:
Дано: ; ; т - число.
Определить: .
Решение:
Так как координаты вектора известны, разложим его по ортам: .
- разложение по ортам, где х = т х1; у = т у1. .
Правило: При умножении вектора, заданного координатами, на число его координаты умножаются на это число.
.
.
Свойство координат коллинеарных векторов
Для определения свойства координат коллинеарных векторов воспользуемся признаком коллинеарности двух векторов, согласно которому для того, чтобы векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию . Следовательно, если имеет координаты (х; у), то имеет координаты (к х; к у), так как при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Рассмотрим отношения одноименных координат коллинеарных векторов и :
.
Вывод: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
коллинеарны .
коллинеарны .
Пример: Проверить, коллинеарны ли векторы и , если А (1; 1), В (7; 3), С (- 4; - 5), D(5; - 2 ).
Дано: Решение:
; 1) Определим координаты и по правилу: чтобы
А (1; 1); определить координаты вектора, надо из координат
В (7; 3); конца вектора вычесть одноименные координаты его
С (- 4; - 5); начала .
D (5; - 2 ). ; .
Определить: 2) Воспользуемся свойством координат коллинеарных
; векторов: координаты коллинеарных векторов
пропорциональны.
. Равенство верно.
Следовательно, векторы коллинеарны, то есть . , так как .
Ответ: .
Упражнения:
1. Определить координаты , если .
2. Определить координаты , если .
3. Разложить по ортам , если А (- 2; - 3), В (2; 4), С (5; 1).
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 P - середина В1С1; М - середина АА1; К - середина СD.
. Разложить по ортам .
5. Проверить коллинеарность векторов:
а) , если А (2; 1), В (- 4; 4), С (- 1; - 1), D (7; - 5);
б) , если ;
в) , если .
9. Определение длины вектора. Определение расстояния между двумя точками
Задача:
Дано: ; .
Определить: - ?
Решение: