М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из

N (1; - 5; - 3). координат конца этого вектора вычесть одноименные

Определить: координаты его начала, то есть:

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Ответ: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Упражнения:

1. Определить координаты: 1) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; 2) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ;

3) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если К(- 2; 2; - 1), Е(0; - 5; 4).

2. Определить координаты М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если А(- 1; 0; 4), В(- 2; - 3; 7), М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

8. Действия над векторами, заданными координатами

Сложение векторов, заданных координатами

Задача:

Дано: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Определить: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Решение:

Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ;

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru - разложение М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru по ортам, где х = х1 + х2; у = у1 + у2. М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Правило: При сложении векторов, заданных координатами, их одноименные координаты складываются.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Вычитание векторов, заданных координатами

Задача:

Дано: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Определить: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Решение:

Так как координаты векторов известны, разложим векторы по ортам:

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ;

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru - разложение М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru по ортам, где х = х1 - х2; у = у1 - у2. М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Правило: При вычитании векторов, заданных координатами, их одноименные координаты вычитаются.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Умножение вектора, заданного координатами, на число

Задача:

Дано: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; т - число.

Определить: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Решение:

Так как координаты вектора М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru известны, разложим его по ортам: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru - разложение М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru по ортам, где х = т х1; у = т у1. М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Правило: При умножении вектора, заданного координатами, на число его координаты умножаются на это число.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Свойство координат коллинеарных векторов

Для определения свойства координат коллинеарных векторов воспользуемся признаком коллинеарности двух векторов, согласно которому для того, чтобы векторы М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru и М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число к , удовлетворяющее условию М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . Следовательно, если М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru имеет координаты (х; у), то М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru имеет координаты (к х; к у), так как при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Рассмотрим отношения одноименных координат коллинеарных векторов М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru и М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru :

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Вывод: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru коллинеарны М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru коллинеарны М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Пример: Проверить, коллинеарны ли векторы М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru и М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если А (1; 1), В (7; 3), С (- 4; - 5), D(5; - 2 ).

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru Дано: Решение:

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; 1) Определим координаты М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru и М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru по правилу: чтобы

А (1; 1); определить координаты вектора, надо из координат

В (7; 3); конца вектора вычесть одноименные координаты его

С (- 4; - 5); начала .

D (5; - 2 ). М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Определить: 2) Воспользуемся свойством координат коллинеарных

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; векторов: координаты коллинеарных векторов

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru пропорциональны.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . Равенство верно.

Следовательно, векторы коллинеарны, то есть М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , так как М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Ответ: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Упражнения:

1. Определить координаты М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

2. Определить координаты М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

3. Разложить по ортам М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если А (- 2; - 3), В (2; 4), С (5; 1).

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 P - середина В1С1; М - середина АА1; К - середина СD.

М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru . Разложить по ортам М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

5. Проверить коллинеарность векторов:

а) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если А (2; 1), В (- 4; 4), С (- 1; - 1), D (7; - 5);

б) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ;

в) М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru , если М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

9. Определение длины вектора. Определение расстояния между двумя точками

 
  М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru

Задача:

Дано: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru ; М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru .

Определить: М (- 3; 0; 4); Чтобы определить координаты любого вектора, надо из - student2.ru- ?

Решение:

Наши рекомендации