Определение линейного пространства

Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина

Н.Р. Беляев

ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Часть I

Конспект лекций для студентов физико-технического факультета

Харьков-2004

РАЗДЕЛ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач современной математики (и не только) сводится к построению и изучению неких абстрактных структур, являющихся конгломератом неких множеств с заданными на этих множествах операциями. Этот способ заманчив в силу своей общности: множества могут быть разной природы и операции, заданные на этих множествах, могут быть разными, но обладать одинаковыми свойствами. Если получен результат, опираясь на свойства операций, то результат этот имеет место во всех множествах, где операции имеют те же свойства.

ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВАХ

Пусть имеется некоторое множество М. И пусть на множестве М задан внутренний закон композиции, т.е. любой паре элементов из М поставлен в соответствие элемент того же множества М

"х, уÎМ $ zÎM | x ⊕ y = z.

В этом случае говорят, что на множестве М корректным образом задана внутренняя операция.

Пусть кроме множества М задано некоторое другое множество Р. И пусть на множестве М задан внешний закон композиции, т.е. любому элементу из М в совокупности с произвольным элементом из Р поставлен в соответствие элемент из М:

"хÎМ aÎР | $ zÎM | a ʘ x = z.

В этом случае говорят, что на множестве М над множеством Р корректным образом задана внешняя операция.

Отметим, что во внутренней операции участвуют два элемента одного и того же множества, а во внешней операции – элементы различных множеств. Корректность операции на М означает, что ее результат принадлежит множеству М, а не корректность - что ее результат не принадлежит множеству М.

ГРУППА

Пусть задано некоторое множество G с элементами, вообще говоря, произвольной природы. Пусть на этом множестве корректным образом задана внутренняя операция, т.е. "х, уÎG $ zÎG | z « x ⊕ y и эта операция удовлетворяет свойствам:

1) (x ⊕ y)⊕ z = x⊕(y ⊕ z) – ассоциативность;

2) $qÎG | x ⊕ q = x – существование нейтрального элемента;

3) "xÎG, $yÎG | x ⊕ y = q – существование противоположного элемента.

Множество G с так введенной операцией называется группой по этой операции.

Если G – группа по сложению, то нейтральный элемент называется нулевым, а противоположный – противоположным.

Если G – группа по умножению, то нейтральный элемент называется единичным, а противоположный – обратным.

Если, кроме указанных свойств, операция, определенная в G обладает свойством x ⊕ y = y ⊕ x , то группа называется коммутативной или абелевой группой.

Примеры

1. Множество вещественных (целых, комплексных, рациональных) чисел является абелевой группой по сложению.

2. Множество вещественных чисел с исключенным нулем является группой по умножению.

3. Рассмотрим множество векторов единичной длины на плоскости, и исходящих из начала координат. Такой вектор характеризуется углом a, который он образует с положитетельным направлением оси абсцисс.

Пусть имеется пара векторов x и y, характеризующихся углами a_х и a_y. Поставим этой паре в соответствие вектор z, характеризующийся углом a_х+ a_y. Указанное множество векторов по операции, введенной выше, образует группу. Эта группа называется группой вращения единичного вектора.

ПОЛЕ

Пусть в множестве K корректным образом определены две внутренние операции, т.е.

1) "a, bÎK $ c = a ⊕ bÎK; 2) "a, bÎK $ d = a ⊗ bÎK;

и эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

а¹) a⊕b = b⊕a – коммутативность; а²) a ⊗ b = b ⊗ a;

б¹) (a⊕b)⊕с = a⊕(b⊕с)– ассоциативность; б²)(a ⊗ b)⊗ с = a ⊗ (b ⊗ с);

в¹) $qÎK а ⊕ q = а – нейтральный; в²) $еÎK а ⊗ е = а;

г¹) "аÎK $bÎK (a⊕b)=q – противоположный;

г²) "аÎK (a ¹q) $bÎK a⊗b = е, и, кроме того,

д) (a ⊕ b)⊗с = a ⊗ c ⊕ b ⊗ с – операция ⊗дистрибутивна по операции ⊕.

Множество K, с так введенными операциями, называется полем.

Отметим, что поле по операции 1) является абелевой группой (свойства а¹, б¹, в¹, г¹). Кроме того, поле по операции 2) после исключения из множества элемента нейтрального по операции 1), является абелевой группой (свойства а²,б², в², г²) и, кроме того, операции 1) и 2) связаны законом дистрибутивности операции 2) по операции 1). (Так называемый 1-й дистрибутивный закон). Отметим, что операция 1), вообще говоря, не дистрибутивна по операции 2).

Примеры

Q – поле рациональных чисел.

R – поле вещественных чисел.

C – поле комплексных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Def. Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректным образом заданы две операции: одна - внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением и обозначаемая ⊕, другая – внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр и обозначенная ⊙, удовлетворяющие аксиомам:

I. "x, yÎV $zÎV | z = x ⊕ y:

1) x ⊕ y = y ⊕ x; 2) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);

3) $qÎV x ⊕ q = q ⊕ x = x; 4) "xÎV $yÎV x ⊕ y = q.

Эти аксиомы определяют абелеву группу по сложению.

II. "xÎV "aÎK $zÎV | z = a ⊙ x:

1) 1ÎK 1 ⊙ x = x;2)"xÎV "a, bÎK a ⊙ (b ⊙ x) = (a ⊙ b) ⊙ x.

III. Эти операции связаны соотношениями:

1) "a, bÎK "xÎV (a + b) ⊙ x = a ⊙ x ⊕ b ⊙ x;

2) "aÎK "x, yÎV a ⊙ (x ⊙ y) = a ⊙ x ⊕ a ⊙ y.

Линейное пространство, заданное над полем вещественных чисел, называется вещественным линейным пространством, а над полем комплексных чисел называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.