Билинейный функционал. Его матрица
Пусть V – линейное вещественное пространство. Если имеется закон, по которому "х, уÎV соответствует некоторое aÎR (числовое поле). Т.е. "х, уÎV ® a = j(х, у)ÎRтакое, что выполняются требования:
– линейность по 1ому аргументу;
– линейность по 2ому аргументу,
то говорят, что в линейном пространстве V над полем R задан билинейный функционал или билинейная форма j(х, у).
Пусть – базис в V. Тогда , и тогда
, т.е. , где аij =j(еi, еj). Матрица называется матрицей билинейного функционала (или билинейной формы) в базисе .
Билинейный функционал (форма) называется симметричным, если "х, уÎV j(х, у) = j(у, х) и антисимметричным, если "х, уÎV j(х, у) = –j(у, х).
Естественно, что симметричной билинейной форме соответствует симметричная матрица (и наоборот), а антисимметричной билинейной форме соответствует кососимметричная матрица (и наоборот).
1°.Всякая билинейная форма может быть представлена в виде суммы симметрической и антисимметрической билинейных форм. Это представление единственно.
◀ . ▶
Квадратичная форма
Если в билинейной форме j(х, у) положить у = х, то получим частный случай билинейной формы – квадратичную форму j(х, х).
Представив билинейную форму j(х, у) в виде суммы симметрической и антисимметрической билинейных форм, получим:
.
Отсюда, ясно, что каждой билинейной форме однозначно ставится в соответствие квадратичная форма (ее матрица симметричная), но не наоборот. Т.е., в общем случае, по имеющейся квадратичной форме нельзя однозначно восстановить билинейную форму, из которой она получена. НО …
2°. Для каждой квадратичной формы существует, и при том только одна, симметричная билинейная форма, из которой получена данная квадратичная форма. (Эта симметричная билинейная форма называется полярной к заданной квадратичной форме).
◀ j(х + у, х + у) = j(х, х) + j(у, х) + j(х, у) + j(у, у) если j(х, у) = j(у, х), то
j(х+у, х+у) = j(х, х) + 2j(х, у) + j(у, у), т.е. j(х, у) = {j(х+у, х+у) – j(х, х) – j(у, у)}. ▶
Классификация квадратичных форм
а) Если rangA = n (А – матрица квадратичной формы, n – размерность пространства V), то форма j(х, х) (и форма j(х, у)) называется невырожденной.
б) Форма называется положительно (отрицательно) определенной, если "х ¹ q j(х, х) > 0 (j(х, х) < 0). Такие формы называются знакопостоянными.
в) Если "х ¹ q j(х, х) ³ 0 (или j(х, х) £ 0) то, форма j(х, х) называется квазизнакопостоянной.
г) Если $х ¹ 0 и $у ¹ 0 такое, что j(х, х) > 0 и j(у, у) < 0, то форма j(х, х) называется знакопеременной.
3°. Если форма j(х, у) полярная к форме j(х, х) и j(х, у) положительно определена то j(х, у) – задает в V скалярное произведение.
Доказать самостоятельно.