Связь координатной сходимости

И сходимости по норме

Конечномерные нормированные линейные пространства примечательны тем, что в этих пространствах понятие сходимости по норме и координатной сходимости эквивалентны.

10°. Если {х_m} сходится покоординатно, то она сходится и по норме.

◀ Пусть Þ ║х_m – х₀║ = . ▶

11°. Если в конечномерном нормированном пространстве последовательность векторов ограничена по норме, то ограничены и числовые последовательности всех координат в разложении векторов по любому базису. ◀ ▶

12°. В конечномерном нормированном пространстве из сходимости по норме следует координатная сходимость. ◀ ▶

Полнота нормированных пространств

Конечномерные нормированные пространства являются пространствами, в которых имеют место многие аналоги утверждений, связанных с понятиями предела в числовых множествах.

13°. Из всякой бесконечной ограниченной последовательности векторов конечномерного пространства можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в этом пространстве.

14°. Любое конечномерное нормированное пространство – полное.

15°. Любое конечномерное подпространство Х₀ нормированного пространства Х, является замкнутым множеством.

РАЗДЕЛ 4. Теория определителей.

Линейный функционал

Пусть V_n – n-мерное линейное пространство. Если для любого хÎV_n существует число j(х)ÎК, где К некоторое числовое поле, то говорят, что на пространстве V_n задан функционал φ со значениями в поле К.

Функционал j(х) называется линейным функционалом, если

а) "х, уÎV_n j(х + у) = j(х) + j(у) (аддитивность);

б) "хÎV_n "aÎК j(aх) = aj(х) (однородность).

Пусть базис в V_n. Тогда "хÎV_n: х = Þ j(х) = j = . Таким образом, чтобы задать линейный функционал в линейном пространстве, достаточно задать величины u_i = j(e_i), т.е. каждому линейному функционалу можно поставить в соответствие вектор u = (u_1, u_{2, … ,} u_n) такой, что j(х) = (x, u) = . Действие функционала j на вектор х можно трактовать и как умножение матриц j(х) = (u_1, u_{2, … ,} u_n)(ξ_1, ξ_{2, … ,} ξ_n)^Т.

Запись линейного функционала в некотором базисе в виде j(х) = называется линейной формой. Таким образом, линейная форма это запись линейного функционала в некотором базисе.

§2. Пространство линейных функционалов на V_n

Рассмотрим множество возможных линейных функционалов на V_n. Два функционала f и j будем называть равными, если "хÎV_n f(x) = j(х).

Введем операции сложения функционалов и умножение функционалов на скаляр из вещественного поля K так:

a) g = f + j Û "хÎV_n g(x) = f(x) + j(х);

b) g = lf Û "хÎV_n, "lÎK g(x) = lf(x).

Нетрудно убедится, что множество линейных функционалов с так введенными операциями образуют линейное пространство. В качестве нейтрального функционала q определим функционал, который "хÎV_n q(х) = 0. Построенное таким образом пространство линейных функционалов заданных на V_n, называется пространством, сопряженным к V_n и обозначается V_n^*.

1°. dimV_n = dimV_n^*. ◀ ▶

Билинейный функционал

Пусть V_n – n-мерное линейное пространство. Если любой паре векторов х, уÎV_n поставить в соответствие число j(х, у)ÎK(K – некоторое числовое поле) такое, что "х, у, zÎV_n, "lÎK выполнимы требования:

то говорят, что в V_n задан билинейный функционал (или билинейная форма).

Пусть – базис в V_n и х, уÎV_n. Тогда х = , у = и j(х, y) =

= = = , где u_ij = j(e_i, e_j). Задание u_ij полностью определяют билинейный функционал. Запись билинейного функционала в некотором базисе в виде j(х, y) = = называется билинейной формой.