Линейная оболочка системы векторов
Пусть векторы e1, e2, … enÎV и a1,a2, … anÎK.
Вектор x = a1e1 + a2e2 + … + anen = 
называется линейной комбинацией векторов e1, e2, … , en с коэффициентами a1,a2, … an.
Если все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называетсятривиальной.
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов 
называется линейной оболочкой этой системы векторов и обозначается:
ℒ(e1, e2, …, en) = ℒ .
8°. ℒ(e1, e2, …, en) является линейным пространством.
◀ Корректность операций сложения и умножения на скаляр следует из того, что ℒ(e1, e2, …, en) – это множество всевозможных линейных комбинаций. Нейтральный элемент – это тривиальная линейная комбинация. Для элемента х = противоположным является элемент –x = 
. Аксиомы, которым должны удовлетворять операции, также выполнены. Таким образом, ℒ(e1, e2, …, en) является линейным пространством.
Любое линейное пространство содержит в себе в, общем случае, бесконечное множество других линейных пространств (подпространств) – линейных оболочек ▶
В дальнейшем мы постараемся ответить на следующие вопросы:
Когда линейные оболочки разных систем векторов состоят из одних и тех же векторов (т.е. совпадают)?
2) Какое минимальное число векторов определяет одну и ту же линейную оболочку?
3) Является ли исходное пространство линейной оболочкой некоторой системы векторов?
ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
Если в пространстве V существует конечный набор векторов 
такой что, ℒ 
º V, то система векторов 
называется полной системой в V, а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e1, e2, …, enÎV называется полной в V системой, т.е. если
"хÎV $ a1,a2, … anÎK такие, что x = a1e1 + a2e2 + … + anen.
Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V), то пространство V называется бесконечномерным.
9°. Если полная в V система векторов и y ÎV, то {e1, e2, …, en, y} – также полная система.
◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0. ▶
10°. Пусть {e1, e2, …, en} полный в V набор векторов, т.е. ℒ(e1, e2, …, en) º V и пусть $ a1,a2, … an, такое, что en = a1e1 + a2e2 + … + an –1en –1. Тогда набор e1, e2 , …, en –1, тоже полный, т.е. ℒ(e1, e2 , …, en) º ℒ(e1, e2 , …, en –1) º V.
◀ {e1, e2, …, en} – полный Þ"хÎV $b1, b1, …, bn, что x = b1e1+ b2e2 +…+ bn en=
= b1e1 + b2e2 + … + bn –1en –1 + bn(a1e1 + a2e2 + … + an –1en –1) =
= (b1 + bna1) e1 + (b2 + bna2) e2 + … + ( bn –1 + bnan –1) en –1 что и требовалось доказать. ▶
Используя, основанный на теореме 10°, процесс «прополки» (выбрасывание векторов, являющихся линейными комбинациями других векторов системы) можно построить минимальный полный набор векторов в пространстве V.