Спектральные и корреляционные свойства сигнала

Распределения Релея и Райса характеризуют замирания сигнала не в полной мере. В частности, они не дают представление о том, как протекает процесс замирания сигнала во времени. Допустим, что процесс рассматривается в два момента времени t и t+t, где t - задержка. Тогда статистическая связь замираний дается функцией корреляции, которая определяется следующим образом.

. (2.3.60)

Предположим, что рассматриваемый процесс является стационарным. Это значит, что его статистические параметры, такие как среднее, дисперсия и взаимная корреляция, не зависят от времени t. Для узкополосного процесса (2.3.37) получаем функцию корреляции в виде

(2.3.61)

Введем функции корреляции квадратурных сигналов:

(2.3.62)

Теперь выражение (2.3.61) преобразуем к виду

(2.3.63)

Для дальнейшего преобразования (2.3.63) воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

(2.3.64)

В результате получим, что

(2.3.65)

Поскольку процесс является стационарным, функция корреляции не должна зависеть от времени. Это требование может быть выполнено, если второе и четвертое слагаемые в (2.3.65) равны нулю, что, в свою очередь, возможно, если функции корреляции квадратурных сигналов удовлетворяют следующим соотношениям:

. (2.3.66)

Таким образом, функция корреляции стационарного нормального узкополосного сигнала равна

. (2.3.67)

Покажем, что функция корреляции является нечетной функцией t. Для этого учтем, что

. (2.3.68)

Подставим (2.3.68) во вторую формулу в (2.3.66) и находим, что

. (2.3.69)

Таким образом, функция взаимной корреляции квадратурных сигналов является нечетной. Отсюда следует важный результат, что в совпадающий момент времени квадратурные сигналы не коррелированны, то есть .

Рассмотрим теперь корреляцию комплексной амплитуды

. (2.3.70)

По определению функции корреляции можно записать, что

. (2.3.71)

Функция комплексная и обладает свойством симметрии, т.е.

. (2.3.72)

Подставим (2.3.70) в (2.3.71) и учтем (2.3.62). Тогда (2.3.71) принимает вид

. (2.3.73)

Если учесть (2.3.66), то эта формула существенно упрощается:

. (2.3.74)

Функция корреляции (2.3.67) узкополосного сигнала и функция корреляции (2.3.74) его комплексной амплитуды взаимосвязаны. Эта связь легко выявляется из сравнения (2.3.67) и (2.3.74). В результате будем иметь

. (2.3.75)

Корреляционные свойства сигнала тесно связаны с его спектральными свойствами. В частности, спектральная плотность мощности находится с помощью преобразования Фурье от корреляционной функции и равна

. (2.3.76)

Покажем, что - действительная функция, в то время как корреляционная функция является комплексной. Для этого возьмем комплексное сопряжение от выражения (2.3.76) и учтем свойство симметрии (2.3.72) функции корреляции. В результате получим, что

. (2.3.77)

Сравнивая (2.3.77) с (2.3.76) имеем, что . Это доказывает, что спектр комплексной амплитуды является действительной функцией.

Далее будет показано, что спектр комплексной амплитуды сигнала, описывающего замирания в многолучевом канале, является четной действительной функцией частоты, т.е. . Тогда функция корреляции становится действительной. Чтобы это доказать, запишем функцию корреляции в виде обратного преобразования Фурье от спектральной плотности мощности в виде

. (2.3.78)

Возьмем комплексное сопряжение выражения (2.3.78) и учтем четность функции . Получим, что

. (2.3.79)

Сравнивая (2.3.79) с (2.3.78) имеем, что . Это доказывает, что функция корреляции комплексной амплитуды с действительным спектром в виде четной функции является действительной функцией.

Учитывая действительность функции корреляции, из (2.3.74) находим, что

. (2.3.80)

С помощью (2.3.75) получим функцию корреляции узкополосного сигнала в виде

. (2.3.81)

Теперь поставим задачу, найти в явном виде спектр и функцию корреляции, которые описывают замирания сигнала в многолучевом канале. Снова рассмотрим два момента времени t и t+t. Если за время t передатчик, приемник и переотражатели не изменяют свое местоположение и сохраняют свои параметры, то суммарный сигнал в приемнике не изменяется. Чтобы происходили замирания сигнала, необходимо взаимное перемещение передатчика, приемника и (или) переотражателей. Только в этом случае наблюдается изменение амплитуд и фаз сигналов, суммирующихся на входе приемной антенны. Чем быстрее происходит это движение, тем с большей скоростью происходят замирания сигнала и, следовательно, более широким должен быть его спектр.

Будем считать, что приемник движется со скоростью v, а передатчик остается неподвижным. Если антенна передатчика излучает гармонический сигнал некоторой частоты f, то из-за эффекта Доплера приемник регистрирует сигнал другой частоты. Разница между этими частотами называется доплеровским смещением частоты. Чтобы найти величину смещения частоты, рассмотрим рис. 2.16, где изображены передатчик, приемник, волновой вектор k плоской волны и вектор v скорости приемника.

Рис. 2.16. К определению доплеровского смещения частоты

Уравнение равномерного движения приемника запишем в виде

. (2.3.82)

Тогда фаза принимаемого сигнала будет функцией времени

. (2.3.83)

где q - угол между вектором скорости и волновым вектором.

Мгновенная частота определяется как производная от фазы. Поэтому, дифференцируя (2.3.83) и учитывая, что волновое число , будем иметь

. (2.3.84)

При равномерном движении приемника, как следует из (2.3.84), наблюдается смещение частоты, равное

. (2.3.85)

Для примера предположим, что скорость v=72 км/ч = 20 м/с, частота передатчика f=900 МГц, а угол q=0. Длина волны l и частота f связаны через скорость света с соотношением с=fl. Отсюда имеем, что l=c/f=0.33 м. Теперь из (2.3.85) находим, что доплеровское смещение частоты f_d=60 Гц.

Доплеровское смещение частоты (2.3.85) принимает как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от угла q между вектором скорости и волновым вектором. Величина доплеровского смещения не превышает максимального значения, равного f_max=v/l. Формулу (2.3.85) удобно представить в виде

. (2.3.86)

Когда имеется много переотражателей, то естественно предположить, что они располагаются вокруг приемника равномерно, например, по окружности, как показано на рис. 2.17. Такая модель переотражателей называется моделью Кларка.

Рис. 2.17. Расположение переотражателей в моделе Кларка

Спектральная плотность мощности в случае модели Кларка определяется следующим путем. Выделим интервал частот df_d вблизи частоты f_d. Заключенная в этом интервале принимаемая мощность равна . Эта мощность обусловлена доплеровским смещением частоты (2.3.86). Рассеянная мощность, связанная с угловым интервалом dq, равна , где - угловая плотность рассеянной мощности. Заметим, что одинаковое доплеровское смещение f_d наблюдается для переотражетелей с угловыми координатами ±q. Отсюда вытекает следующее равенство мощностей

. (2.3.87)

Будем полагать, что полная рассеянная мощность равна единице и равномерно распределена в интервале [0-2p) углов q. Тогда (2.3.87) примет вид

. (2.3.88)

Отсюда находим спектральную плотность мощности

. (2.3.89)

Используя (2.3.85) для вычисления производной, получаем спектр (2.3.89) в виде

. (2.3.90)

Такой спектр называется доплеровским спектром Джейкса. Спектр Джейкса для максимальной частоты Доплера f_max=10 Гц показан на рис. 2.18. Его вид часто характеризуется, как «уши кролика». Этот спектр является четной функцией и заключен в интервале [-f_max, f_max].

Рис. 2.18. Доплеровским спектр Джейкса для f_max=10 Гц

Чтобы определить функцию корреляции (2.3.71) комплексной амплитуды, необходимо полученное для спектральной плотности мощности выражение (2.3.90) подставить в (2.3.78). В результате получим, что

. (2.3.91)

Модуль функции корреляции (2.3.91) комплексной амплитуды для двух максимальных частот Доплера f_max=10 Гц (сплошная кривая) и f_max=30 Гц (пунктирная кривая) показаны на рис. 2.19. Если оценить время корреляции замираний сигнала в канале по уровню 0.5, то оно равно . Это дает 24 мсек для f_max=10 Гц и 8 мсек для f_max=30 Гц.

Рис. 2.19. Модуль функции корреляции для f_max=10 и 30 Гц (сплошная и пунктирная кривые,
соответственно).

В общем случае доплеровский спектр может отличаться от спектра Джейкса (2.3.90). Область значений Df_d, в которой существенно отличается от нуля, называют допплеровским рассеянием в канале. Поскольку связана с преобразованием Фурье, то временем когерентности t_coh канала является величина t_coh»1/Df_d, которая характеризует скорость изменения свойств канала.

При выводе (2.3.90) и (2.3.91) предполагалось, что средняя мощность рассеянного сигнала равна единице. Это следует также из (2.3.91) и (2.3.71), так как

. (2.3.92)

Коэффициент корреляции равен отношению функции корреляции к средней мощности . Поэтому в данном случае выражение (2.3.91) дает также коэффициент корреляции .

Из (2.3.81) найдем функцию корреляции узкополосного сигнала равную

. (2.3.93)

На практике могут представлять интерес корреляционные свойства таких случайных величин, как амплитуда А и мгновенная мощность P=А². Эти величины обычно являются регистрируемыми, например, на выходе линейного или квадратичного детектора. Их корреляционные свойства определенным образом связаны с корреляционными свойствами комплексной амплитуды Z(t).

Коэффициент корреляции мгновенной мощности связан с коэффициентом корреляции комплексной амплитуды простым соотношением [14,44] вида:

. (2.3.94)

Приведем доказательство этой формулы. Исходя из определения коэффициента корреляции, можем записать, что

, (2.3.95)

где - функция корреляции мощности.

Предположим, что детерминированной компоненты сигнала нет и амплитуда А имеет релеевское распределение. Тогда <P>=<A²>=2σ². Входящая в (2.3.95) величина . Используя релеевский закон распределения, находим, что

. (2.3.96)

Учитывая (2.3.96), найдем функцию корреляции мощности из (2.3.95) с помощью простых алгебраических преобразований. Получим, что

. (2.3.97)

Функцию корреляции мощности выразим также через квадратурные компоненты в виде

. (2.3.98)

Выполняя перемножение и усреднение в правой части равенства (2.3.98), получаем слагаемые, которые представляют собой следующие моменты четвертого порядка:

(2.3.99)

Таким образом, нам необходимо вычислить моменты четвертого порядка. Учтем, что квадратурные компоненты I и Q являются гауссовскими случайными величинами с нулевым средним и одинаковой дисперсией σ² и воспользуемся известным правилом размыкания моментов четвертого порядка [45]. В соответствии с ним, если имеются четыре случайные величины a, b, c, и d, то справедлива следующая формула:

. (2.3.100)

Применяя это правило, вычислим моменты четвертого порядка в (2.3.99). В результате будем иметь

(2.3.101)

Если принять во внимание (2.3.96), (2.3.66) и (2.3.74), то (2.3.98) можно записать в виде

. (2.3.102)

Теперь необходимо учесть, что . В результате получим следующее выражение для функции корреляции мощности:

. (2.3.103)

Сравнивая полученную формулу с (2.3.97), убеждаемся в справедливости (2.3.94).

Для канальной модели Кларка мы нашли, что коэффициент корреляции определяется (2.3.91). С учетом (2.3.94), коэффициент корреляции мощности в случае модели Кларка будет равен

. (2.3.104)

Корреляционные свойства амплитуды А исследуются с привлечением значительно более сложного математического аппарата и здесь не рассматриваются. Однако следует отметить, что коэффициент корреляции амплитуды А удовлетворяет следующему приближенному равенству [14,44]:

. (2.3.105)

Сравнивая это выражение с (2.3.94), заключаем, что коэффициент корреляции амплитуды приблизительно равен коэффициенту корреляции мощности.