Классификация кривых второго порядка

Определение. Кривой второго порядка на плоскости будем называть множество точек, которое в некоторой декартовой системе координат может быть задано алгебраическим уравнением второго порядка, то есть уравнением вида

a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2b₁x + 2b₂y + c = 0 (*), где a₁₁² + a₁₂² + a₂₂² ≠ 0.

Лемма (о корректности определения).

Понятие кривой второго порядка не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть если некоторое множество задается алгебраическим уравнением второго порядка в некоторой декартовой системе координат, то и в любой другой декартовой системе координат это множество задается алгебраическим уравнением второго порядка.

Доказательство.

1) При переходе от одной декартовой системы координат к другой замена координат линейна, поэтому степень уравнения (*) не может повыситься.

2) С другой стороны, степень уравнения (*) при переходе от одной декартовой системы координат к другой замена координат не может понизиться, так как иначе при обратном переходе она бы повышалась, что невозможно (см. п. 1)

Лемма. Пусть в уравнении (*) кривой второго порядка коэффициент a₁₂ ≠ 0. Существует поворот декартовой системы координат вокруг начала координат такой, что в новой системе координат данная кривая второго порядка задается уравнением, в котором отсутствует слагаемое xy.

Доказательство.

Введем следующее обозначение: F(x,y) = a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y².

Ясно, что достаточно проследить за изменением данного выражения при любой замене координат для того, чтобы увидеть, что происходит со слагаемыми второй степени, то есть со слагаемыми вида x², xy и y² .

Рассмотрим поворот системы координат вокруг начала координат на угол j. Напомним, что в этом случае формулы замены координат выглядят следующим образом:

Рассмотрим выражение F(x’,y’):

F(x’,y’) = a₁₁ cos²j x’² - 2a₁₁ cos j sin j x’y’ + a₁₁ sin²j y’² +

+ 2a₁₂ cos j sinj x’² + 2a₁₂ (cos²j - sin²j) x’y’ - 2a₁₂ sin j cos j y’² +

+ a₂₂ sin²j x’² + 2a₂₂ sin j cos j x’y’ + a₂₂ cos²j y’²;

Найдем такое значение j, при котjром коэффициент при слагаемом x’y’ выражении F(x’,y’) будет равен нулю:

- 2a₁₁ cos j sin j + 2a₁₂ (cos²j - sin²j) + 2a₂₂ sin j cos j = 0

sin 2j (a₂₂ - a₁₁) + 2a₁₂ cos 2j = 0

tg 2j = (если a₁₁ - a₂₂ ≠ 0) или cos 2j = 0 (если a₁₁ - a₂₂ = 0)

В первом случае в качестве значения j можно взять , во втором случае в качестве значения j можно взять .

Итак, при найденном значении j в выражении F (x’,y’) будет отсутствовать слагаемое x’y’, то есть после поворота системы координат вокруг начала координат на угол j в уравнении кривой второго исчезнет слагаемое указанного вида.

Лемма. Пусть в уравнении (*) кривой второго порядка коэффициенты таковы, что a₁₂ = 0, a₁₁≠ 0 и b₁ ≠ 0. Существует параллельный перенос декартовой системы координат такой, что в новой системе координат данная кривая второго порядка задается уравнением, в котором отсутствует слагаемое x.

Доказательство.

Рассмотрим ту часть уравнения (*), которая содержит слагаемые с буквой x, обозначим эту часть F(x) : F(x) = a₁₁x² + 2b₁x.

Выделим полный квадрат из выражения F(x):

F(x) =

Рассмотрим следующие формулы преобразования координат: .

Данные формулы соответствуют параллельному переносу системы координат на вектор .

В новой системе координат в уравнении (*) кривой второго порядка с буквой x будет только слагаемое вида x².

Замечание. Ясно, что по аналогии с предыдущей леммой если в уравнении (*) кривой второго порядка коэффициенты таковы, что a₁₂ = 0, a₂₂≠ 0 и b₂ ≠ 0, то существует параллельный перенос декартовой системы координат такой, что в новой системе координат данная кривая второго порядка задается уравнением, в котором отсутствует слагаемое y.

Лемма. Пусть в уравнении (*) кривой второго порядка коэффициенты таковы, что a₁₂ = 0, a₁₁= 0, b₁ ≠ 0 и c ≠ 0. Существует параллельный перенос декартовой системы координат такой, что в новой системе координат данная кривая второго порядка задается уравнением, в котором отсутствует слагаемое c.

Доказательство.

Рассмотрим выражение F(x) = 2b₁x + c.

F(x) =

Следующие формулы преобразования координат: соответствуют параллельному переносу системы координат на вектор .

В новой системе координат в уравнении (*) кривой второго порядка будет отсутствовать свободный коэффициент c.

Замечание. Ясно, что по аналогии с предыдущей леммой если в уравнении (*) кривой второго порядка коэффициенты таковы, что a₁₂ = 0, a₂₂ = 0, b₂ ≠ 0 и c ≠ 0, то существует параллельный перенос декартовой системы координат такой, что в новой системе координат данная кривая второго порядка задается уравнением, в котором отсутствует слагаемое c.

Теорема (о классификации кривых второго порядка)

Для любой кривой второго порядка существует декартова система координат такая, что уравнение данной кривой в этой системе будет иметь один из следующих видов:

№ п.п.	уравнение	название
	, a ³ b > 0	эллипс
	, a > 0, b > 0	точка
	, a > 0, b > 0	Æ
	, a > 0, b > 0	гипербола
	, a > 0, b > 0	две пересекающиеся прямые
	, a > 0	парабола
	, a > 0	две параллельные прямые
	, a > 0	одна прямая
	, a > 0	Æ

Доказательство.

Применим к уравнению второго порядка последовательно три предыдущие леммы (с учетом замечаний о слагаемых с буквой y). В результате мы придем к такой системе координат, что уравнение кривой второго порядка будет содержать либо только слагаемые второго порядка и числовой коэффициент (см. (1)-(5), (7)-(9)), либо одно слагаемое второго порядка и одно слагаемое первого порядка с другой переменной (см. (6)). С точностью до переобозначения переменных все случаи указаны в данной таблице.

Замечание. В том, что кривые, которые названы в таблице эллипсом, гиперболой и параболой суть различные кривые (при любых значениях параметров a и b) мы убедимся после исследования свойств этих кривых по уравнениям.

Определение. Уравнения, указанные в таблице теоремы классификации, принято называть каноническими уравнениями кривых второго порядка.