Уравнений кривых второго порядка

■ Преобразование координат. Задача преобразования координат на плоскости состоит в том, чтобы, зная координаты любой точки плоскости М(х, у), найти координаты Уравнений кривых второго порядка - student2.ru этой же точки в другой системе координат. Формулы, связывающие координаты точки М в "старой" и "новой" системах координат, называются формулами преобразования координат. При удачном выборе новой системы координат можно добиться, чтобы уравнение линии приняло наиболее простой канонический вид (что позволит исследовать свойства линии и облегчит ее построение).

1-й случай. Пусть требуется перейти от системы координат хОу к новой системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , начало которой находится в точке Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (где а и b – координаты точки Уравнений кривых второго порядка - student2.ru в старой системе координат), а новые оси Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и Уравнений кривых второго порядка - student2.ru параллельны старым осям Ох и Оу (и одинаково с ними направлены). Тогда между координатами произвольной точки в этих двух системах координат имеется следующая зависимость:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (1)

Эти формулы позволяют выразить первоначальные координаты точки x, y через ее новые координаты и координаты нового начала в старой системе координат.

Если же требуются формулы обратного перехода, выражающие новые координаты через старые, то из (1) легко видеть, что

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (2)

Пример 1. Даны координаты точки Уравнений кривых второго порядка - student2.ru в системе хОу. Перенесем начало координат в точку Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , сохраняя направления осей. Найти новые координаты точки М.

Решение. Имеем Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ; тогда по формулам (2) Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Ответ: Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Пример 2. С помощью параллельного переноса осей координат (без изменения их направления) упростить уравнение линии Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Решение. Выделим в левой части уравнения полные квадраты:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru

или Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ,

откуда Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Воспользуемся формулами (2): Уравнений кривых второго порядка - student2.ru

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Отсюда видно, что если взять Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , т.е. перенести начало координат в точку Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , то в новой системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru уравнение примет вид Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , откуда видно, что исходное уравнение определяет гиперболу, действительная полуось которой Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , мнимая полуось Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , а центр находится в точке Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

2-й случай. Пусть требуется перейти от системы координат хОу к новой системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (с тем же самым началом О), которая получается при повороте осей координат на угол Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (рис. 6). Тогда имеют место соотношения

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . (3)

Формулы обратного перехода имеют вид

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . (4)

Пример 3. Дана точка Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . Найти ее координаты в системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , повернутой на угол 30° против часовой стрелки относительно исходной системы (без изменения начала координат).

Решение. Имеем Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . Тогда по формулам (4)

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ,

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Ответ: Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Замечание. Можно объединить соотношения (1) и (3), получая формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте системы координат:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Тогда формулы обратного перехода будут иметь вид

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

■ Упрощение уравнений кривых второго порядка. Общее уравнение второй степени имеет вид

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (5)

(где коэффициенты А, В, С не равны нулю одновременно).

Рассмотренные выше окружность, эллипс, гипербола и парабола имеют уравнения, которые являются частными случаями общего уравнения (5) (поэтому их называют кривыми второго порядка). Однако этому уравнению могут соответствовать и другие геометрические образы, иллюстрируемые следующими примерами.

Пример 4. Уравнение Уравнений кривых второго порядка - student2.ru определяет пару пересекающихся прямых, т.к. его можно записать в виде Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , откуда получаем Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Пример 5. Уравнению Уравнений кривых второго порядка - student2.ru отвечает пара параллельных прямых Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Пример 6. Уравнению Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , которое можно переписать в виде Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , отвечает одна прямая Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (или, как еще говорят, пара слившихся прямых).

Пример 7. Уравнению Уравнений кривых второго порядка - student2.ru удовлетворяют только значения Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , т.е. оно определяет одну точку Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ("вырожденный эллипс").

Пример 8.Уравнению Уравнений кривых второго порядка - student2.ru не удовлетворяют никакие значения х и у, так что оно не определяет никакого геометрического образа ("мнимый эллипс").

Можно доказать, что все возможные случаи, которые могут встретиться при исследовании общего уравнения второй степени (5), исчерпываются либо кривыми второго порядка; либо ситуациями в Примерах 4 – 8.

Составим из коэффициентов уравнения два определителя:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

В зависимости от значений этих определителей уравнение (5) определяет следующий геометрический образ (см. таблицу):

  Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Уравнений кривых второго порядка - student2.ru
Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Эллипс (или нет геометрического образа) Точка
Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Гипербола Пара пересекающихся прямых
Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Парабола Пара параллельных прямых или одна прямая

Задача упрощения уравнения (5) состоит в том, чтобы при переходе к новой системе координат добиться устранения члена с произведением координат. Практически такой переход можно осуществить следующим образом.

1-й случай. Если Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , то геометрический образ имеет центр симметрии Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . Координаты центра находятся из системы уравнений

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . (6)

После переноса начала координат в новый центр уравнение (5) в системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru примет вид

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . (7)

Далее повернем систему координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru на угол Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , определяемый формулой Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (если Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , то угол поворота 45°). При этом координаты Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru заменяются на новые координаты Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru по формулам поворота:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (8)

Теперь последнее уравнение примет канонический вид

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ,

из которого легко распознать вид геометрического образа и расположение на плоскости.

2-й случай. Если Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , то отвечающий уравнению (5) геометрический образ не имеет определенного центра симметрии. При этом система уравнений (6) либо совсем не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. Тогда рекомендуется действовать иначе, чем в случае, когда Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Если повернуть оси координат на угол Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , определяемый как в предыдущем случае, старые координаты х, у выразятся через новые координаты Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru по формулам (3), произведение координат исчезнет, а уравнение (5) примет вид:

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , или

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Остается выделить полный квадрат, вид геометрического образа и его расположение на плоскости.

Замечание. В подробных курсах аналитической геометрии приводится ряд других приемов процедуры приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Пример 9. Выяснить, какую линию определяет уравнение Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и привести его к каноническому виду.

Решение. 1) Составим определители Уравнений кривых второго порядка - student2.ru и Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (см. стр. ___):

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Так как Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , то данная линия является эллипсом (см. таблицу на стр. ___).

2) Составим систему уравнений для нахождения координат центра эллипса Уравнений кривых второго порядка - student2.ru :

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ,

откуда Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

3) Перенесем начало координат в центр Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (без поворота осей). Тогда в системе координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru уравнение кривой примет вид (7):

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

4) Теперь повернем систему координат Уравнений кривых второго порядка - student2.ru на угол Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (против часовой стрелки), так как здесь Уравнений кривых второго порядка - student2.ru . При этом новые координаты Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru связаны с координатами Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru соотношениями (8):

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru ,

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru .

Если преобразовать по этим формулам последнее уравнение, то, согласно общей теории, член с произведением координат исчезнет и мы получим Уравнений кривых второго порядка - student2.ru или Уравнений кривых второго порядка - student2.ru – каноническое уравнение эллипса с полуосями Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , Уравнений кривых второго порядка - student2.ru , фокусы которог

 
  Уравнений кривых второго порядка - student2.ru

о расположены на оси Уравнений кривых второго порядка - student2.ru (см. рис. 7).

Примеры уравнений кривых в полярных координатах

Уравнения некоторых кривых в полярных координатах выглядят значительно проще, чем в декартовой системе координат. Приведем примеры (для простоты на всех рисунках предполагается, что параметр а положителен).

Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Окружность Уравнений кривых второго порядка - student2.ru или Уравнений кривых второго порядка - student2.ru   Рис. 8     Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Кардиоида Уравнений кривых второго порядка - student2.ru   Рис. 9  
Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Спираль Архимеда Уравнений кривых второго порядка - student2.ru   Рис. 10   Уравнений кривых второго порядка - student2.ru Лемниската Бернулли Уравнений кривых второго порядка - student2.ru   Рис. 11  

Наши рекомендации