Анализ моделей длинных линий и резонаторных моделей МПА

Анализ модели прямоугольной микрополосновой антенны

на основе длинной линии

Возможность использования модели длинных линий заключается в приемлемой точности, простоте и быстродействии, что позволяет применять ее в системах автоматизированного проектирования и тем самым оптимизи­ровать параметры антенны. Антенна согласно модели длинной линии (МДЛ) может быть заменена отрезком низкоомной длинной линии, которая нагружена на оба конца проводимостью излучения Y_Т.В этом случае пространство, расположенное между краями пластины и экранной плоскостью на обоих кон­цах линии, рассматривается в качестве излучающих апертур, которые похожи на щелевые антенны.

Общее представление МПА с тремя входами показано на рис. 96. В зависимости от способа возбуждения оно может быть видоизменено и дополнено на соответствующих входах. Например, в случае коаксиального возбуждения I₁=I₂=0, а ко входу 3 добавляется по­следовательное индуктивное сопро­тивление кабеля. В первой МДЛ [41] R. E. Munson полагал Y_T = wy_s, где y_s – удельная проводимость на еди­ницу длины ТЕ-возбужденной щели бесконечной длины с шириной, рав­ной толщине подложки h.

Рис.96.Прямоугольная МПА:

а - геометрия антенны, б - трехвходовая модель длинной линии

В этой модели были получены выражения как для Re Y_T,так и для Im Y_Т,но она имела существен­ные недостатки: неточность выражений Y_Т для МПА с w ≤ λ₀ и неучтенность взаимного влияния между излучающими щелями и влияния на прово­димость излучения боковых щелей.

Для устранения недостатков необходимо детально проанализировать МПА электродинамическими методами. Для этого представим данную антенну в виде резонатора с диэлектриком, обладающим потерями, возникающими как вследствие излучения, так и потерями в самом диэлектрике.

Структура поля в резонаторе определяется геометрией антенны (формой излучателя, высотой), ее возбуждением (включением стороннего источника), параметрами диэлектрика и металла.

Так как высота резонатора h мала по сравнению с длиной волны, поле, в основном, концентрируется в резонаторе. В связи с этим задача может быть решена, если заменить боковую поверхность резонатора идеальным магнитным проводником (рис.97), где касательная составляющая магнитного поля равна нулю Н_τ=0. Также нулю должна быть равна нормальная составляющая электрического поля Е_n=0. На металлических поверхностях, которыми являются торцы резонатора, должны пропадать аналогично составляющие Н_n и Е_τ, т.е. граничные условия имеют вид:

(Hz)=0, [E, z]=0, z=0, z=h (4.1,a)

и на боковой стенке

(En)=0, [H, n]=0. (4.1,б)

Рис.97.Представление МПА в виде резонатора

Условие (4.1,б) тем точнее, чем меньше высота резонатора h. Т.к. высота мала, можно считать, что в полости резонатора

. (4.2)

При данных упрощениях структура поля на резонаторе аналогична структуре поля критической частоты ТЕ-волны в металлическом волноводе равного с резонатором поперечного сечения.

Расчет полей излучения МПА

При определении полей во внешнем полупространстве для МПА используется модель в виде щели различной формы, прорезанной в бесконечном экране. Распределение поля находится в результате решения внутренней задачи-нахождения структуры поля в резонаторе. Для этого воспользуемся понятием магнитного тока, протекающего вдоль щели известной ширины [42]. Плотность данного фиктивного поверхностного тока определяется касательной составляющей вектора Е_τ в щели:

J^M= - [n^e, E_τ], (4.3)

где n^e – единичная внешняя нормаль к поверхности щели. В этом случае поверхностный магнитный ток равен:

I^M=dJ^M=d[E_τ, n^e]. (4.4)

Фактически получилось, что этот поверхностный ток представляет собой напряжение между краями щели. Для МПА, как следует из (4.2), Е_τ=z₀E_z, поэтому

I^M=E_zd[z₀, n^e], (4.5)

где z₀-единичный координатный вектор. Например, для круглой МПА (рис. 98, а) в цилиндрической системе координат получим , а для прямоугольной щели - (рис. 98, б).

Рис.98.Распределение полей для различных МПА

Рассмотрим щель, которая образует контур С (рис. 99), обтекаемый магнитным током I^M(r’, φ’), и найдем поле в точке Р с координатами (r₀, θ, φ’). Векторный потенциал А^М для магнитных токов протекающих по бесконечной идеально проводящей плоскости, равен [43]:

, (4.6)

где r – расстояние от элемента тока до точки наблюдения Р, k₀=2π/λ –волновое число. Применив к (4.6) ряд геометрических преобразований – получим:

(4.7)

Рис.99.Щель с контуром

Вначале найдем компоненты векторного потенциала в прямоугольной системе координат , так как ток I^M задан на плоскости (х,y), а затем перейдем к составляющим в сферической системе координат для определения полей в дальней зоне. Подобные преобразования осуществляем по формулам:

. (4.8)

В отсутствие векторного потенциала электрических токов вектор Е определяется отношением

. (4.9)

Записав операции нахождения компонент rot A^M в сферической системе координат и выполнив дифференцирование, получим

. (4.10)

Компоненты вектора Н находятся соотношениями с помощью волнового сопротивления свободного пространства Z₀=120π:

H₀= - E_φ/Z₀, H_φ=E_θ/Z₀ . (4.11)

Мощность излучения Р_∑ определяется интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности верхней полусферы:

. (4.12)

Рабочая полоса частот и добротность излучателей

Одним из важнейших параметров для малогабаритных излучателей является добротность Q_A,которая определяет рабочую полосу согласования с фидером. Добротность определяют как отношение умноженной на резонансную частоту ω₀ суммы запасенных при резонансе усредненных за период энергий электрического и магнитных полей к активной мощности Р_А

. (4.13)

В этом выражении учтено, что на резонансе .

В литературе [44] известно и другое определение добротности: Q_A есть величина, обратная относительной полосе частот, в пределах которой КБВ в согласованном на средней частоте f₀ фидере не падает ниже к=0,38 (или КСВ не более 2,62, или коэффициент отражения по мощности не более 0,2):

(4.14)

при к=0,38.

Если известна величина Q_A, то можно определить полосу частот, в которой КБВ в фидере окажется не хуже заданного:

. (4.15)

В ряде случаев для нахождения Q_A на произвольной частоте используются соотношения, описывающие непосредственно зависимость от входного сопротивления Z_A=R_A+jX_A (проводимости Y=G_A+jB_A ) антенны [45]:

(4.16 a)

. (4.16 б)

Формула (4.16 а) используется в области частот, примыкающих к последовательному резонансу антенны, а (4.16 б) – в районе параллельного резонанса.

При вычислении Q_A по формуле (4.13) имеют место трудности в определении среднего значения электромагнитной энергии, которая обычно выражается интегралом по объему V антенны:

, (4.17)

где – комплексная диэлектрическая проницаемость диэлектрика; ε₀ = (1/36π) 10^-9 Ф/м, μ₀ =4π 10^-7 Г/м, Еⁱ ,Hⁱ – поля внутри резонатора. Нахождение Q_A по формулам (4.14) и (4.16) показывает, что расчетные значения несколько отличаются друг от друга, причем последние дают более высокие значения добротности.

Активную мощность Р_А можно представить в виде суммы мощностей излучения Р_∑ , потерь в диэлектрике Р_Д и металле Р_М:

Р_А= Р_∑+ Р_Д+ Р_М . (4.18)

С учетом формулы (4.13) Q_A можно представить как суперпозицию отдельных добротностей:

. (4.19)

Если потери в резонаторе малы по сравнению с мощностью излучения, то можно предположить, что они не оказывают существенного влияния на структуру поля и запасенная в нем энергия такая же, как и при отсутствии потерь. В этом случае можно производить вычисления отдельных добротностей независимо друг от друга и в первом приближении, как это следует из общей теории резонаторов. Для МПА оказывается, что Q_Д не зависит от размеров резонатора

, (4.20)

а величина Q_М равна

, (4.21)

где tg δ – тангенс угла потерь диэлектрика; σ – удельная проводимость металла; Δ – толщина скин-слоя. При получении формулы (4.21) было учтено, что для резонатора МПА, у которого нет боковой стенки, отношение объема V к металлической поверхности S_M равно половине высоты: V/S_M=d/2.

Если известны аналитические выражения для Z_A, то в случае tg δ « 1 (т.е. пренебрегая влиянием потерь на структуру поля) можно уточнить величины Q_∑ и Q_Д следующим образом. Положим, что tg δ « 1, тогда при этом можно считать, что

, (4.22)

где Z_∑ – сопротивление излучения. Тогда, подставляя значения Z_∑ в формулы (4.16), находим Q_∑, а значение Q_Д будет равно:

. (4.23)

Потери в антенне, расширяя рабочую полосу частот, могут существенно понизить ее эффективность, поэтому при конструировании МПА особое внимание необходимо уделять оценке их КПД, который равен отношению мощностей

. (4.24)

Если пренебречь влиянием потерь на величину запасенной в антенне энергии, то из (4.13) получим

. (4.25)

На частоте параллельного резонанса антенны КПД следует находить через отношение входных проводимостей

, (4.26)

а в окрестности последовательного резонанса – по формуле

. (4.27)

Поля в резонаторе

Для МПА, изображенной на рис. 96 и 97 при расчетах полагалось, что излучатель возбуждается в точке соединения линии с пластиной с помощью генератора с ЭДС ℰ, включенным между пластиной и экраном. Ограничиваясь приближенными граничными условиями (4.1), получим выражения для компонент поля внутри резонатора:

(4.28)

Резонансные частоты приближенно можно определить отношением

m, n=0,1,2,… (4.29)

Целые числа m и n показывают, сколько полуволн укладывается на резонансе вдоль соответствующей щели резонатора.

Наибольший интерес представляет низший тип волн, когда m=0 и n=1. Тогда из (4.29) можно найти распределение напряжения магнитного тока вдоль щели:

(4.30)

Из (4.29) следует, что

, (4.31)

т.е. при возбуждении антенны около щели на низшей резонансной частоте напряжение распределяется по косинусоидальному закону с пучностями на краях щелей и нулем посередине (рис.97, а). Выражение (4.31) определяет резонансный размер антенны для заданной частоты: длина стороны пластины должна быть равна половине длины волны в диэлектрике.

Т.к. на противоположных стенках резонатора поле Е имеет разное направление, то используя выражение (4.5) находим, что магнитные токи в щелях совпадают по направлению

, (4.32)

в то время как в щелях, параллельных другим краям, токи меняют направления, образуя таким образом два противофазных участка.

Данная модель с магнитными стенками является очень приближенной, не учитывающей ряд факторов. Поле в резонаторе имеет более сложный вид, особенно около щелей (рис. 100), что математически описывается с помощью бесконечных рядов гармоник.

Рис. 100. Поле вблизи щелей

Формула (4.29) не учитывает влияния ширины антенны а на резонансную частоту. Для уточнения (4.29) необходимо использовать сложные эффективные диэлектрические проницаемости для МПА шириной а и b. В этом случае резонансная частота определяется следующим образом:

, (4.33)

где ;

.

На рис.96 показаны результаты расчета f_рез по формуле (4.29), когда f_рез= f₀ , и по формуле (4.33), а также результаты измерений резонаторной частоты. Из рис. 101 видно, что при небольшой ширине излучателя расчет по формуле (4.29) дает неплохое совпадение с экспериментом. Однако при увеличении а действительная резонансная частота падает, что не отражается формулой (4.29). В этом случае более приемлемые результаты получаются с использованием формулы (4.33).

Рис. 101. Вид резонансной частоты

Характеристика направленности

Рассмотрев картину распределения магнитного тока вдоль щели излучателя, можно сделать вывод: излучение щелей, параллельных оси Оy оказывается незначительным из-за противофазных участков магнитного тока на каждой щели: созданное ими поле равно нулю в плоскостях φ=0 и φ=π/2 из-за полной компенсации излучения.

Компоненты поля в произвольном направлении, создаваемые МПА, найдем из выражений (4.6) – (4.10) посредством интегрирования распределения тока (4.30):

(4.34)

(4.35)

В двух основных плоскостях (Е-плоскость) и (Н-плоскость) структура поля упрощается:

(4.36)

и

(4.37)

Формулы (4.36) и (4.37) описывают поле излучения решетки двух линейных источников (щелей длиной a) с равномерным распределением магнитного тока, разнесенных на расстояние b; множитель

является множителем решетки, записанным с учетом фазы, остальные множители описывают характеристику направленности щели в соответствующей плоскости. Влияние толщины подложки можно учесть введении в формулы для компонент поля (4.34) – (4.37) множителя

(4.38)

получающегося в предположении, что магнитный ток протекает в диэлектрике на высоте d над экраном (т. е. в результате сложения полей от тока и его изображения).

Типичные ДН приведены на рис. 102. В Е-плоскости диаграмма близка к неправильной, а в Н-плоскости определятся множителем . КНД антенны в направлении θ=0 в зависимости от ее ширины a при ε_r=2,5; b=0,316λ₀=0,5λ_Д, полученный в результате численного интегрирования, представлен на рис. 103. Если предположить, что структура поля в резонаторе не меняется, КНД монотонно растет с увеличением ширины МПА.

Рис. 102. Вид ДН МПА для анализируемой модели

Рис.103. График зависимости КНД от ширины МПА

Входное сопротивление

Для расчета входного сопротивления Z_А (входной проводимости) прямоугольной МПА используем эквивалентную схему (рис. 104) в виде двух комплексных нагрузок, равных проводимостям щелей длиной а, соединенных полосковой линией b волновым сопротивлением (ширина проводника линии а, толщина подлодки d) причем, Z_A (или Y_A) определяется в сечении линии, отстоящем на расстоянии от нагрузки (y₀ – координата включения генератора в антенну – см. рис. 96). Тогда резонатор антенны представляется как отрезок линии передачи с низким волновым сопротивлением. Входная проводимость антенны вычисляется по формуле трансформации проводимости Y_H через отрезок линии длиной l с коэффициентом распространения jβ:

(4.39)

где λ – длина волны в линии; β=2π/λ. В результате получаем

. (4.40)

Рис. 104. Эквивалентная схема МПА

Проводимость Y состоит из собственной проводимости щели Y_Щ и взаимной проводимости Y_ВЗ двух щелей, разнесенных на расстояние b:

. (4.41)

Проводимость излучения щели, образованной открытым концом полосковой линии и имеющей эффективную ширину а_ЭФ равна

, (4.42)

где Si(x) – интегральный синус. Для разных отношений а_ЭФ/λ₀ получим упрощенные приближенные выражения:

(4.43)

Реактивная проводимость щели В_Щ обусловлена ее емкостью и определяется по формуле

, (4.44)

где l_экв определяется из графиков, представленных на рис.105.

Рис.105. Графики для определения l_экв

Активную взаимную проводимость G_ВЗ можно выразить интегралом

. (4.45)

Величина интеграла мало зависит от ширины антенны а и поэтому G_ВЗ может быть выражена по приближенной формуле через G_Щ:

. (4.46)

Реактивная часть взаимной проводимости мала, поэтому ею можно пренебречь. В этом случае проводимость МПА будет равна

. (4.47)

Антенна считается настроенной в резонанс, если ее входная проводимость является вещественной. Поэтому условию и выбирается длина b, которая оказывается незначительно меньше, чем рассчитанная по формуле (4.33).

Резонансное входное сопротивление R_рез антенны при возбуждении с краю (y₀=0) лежит в пределах 100 – 200 Ом, уменьшается с увеличением ширины а и мало зависит от толщины подложки, что отображено на рис.106.

Рис.106. Зависимость резонансного сопротивления от толщины подложки

При смещении точки питания в глубину резонатора сопротивление R_рез падает по закону

. (4.48)

Может быть найдена такая точка y₀, где обеспечивается согласование со стандартной нагрузкой в 50 или 70 Ом. При сдвиге точки питания резонансная частота может изменяться, т.е. антенна расстраивается.

В качестве примера на рис.107 показаны нанесенные на круговой диаграмме полных сопротивлений (диаграмма Вольперта) кривые входных сопротивлений антенны диапазона 1 Ггц для различных точек питания.

Рис.107. Диаграмма Вольперта

Добротность и рабочая полоса частот

Величину запасенной энергии можно найти по формуле (4.17), подставляя в нее выражение Е_z из (4.28):

. (4.49)

Для рассматриваемого случая при m=0 и n=1 имеем

. (4.50)

Выполнение аналитического интегрирования выражений (4.34) и (4.35) весьма сложно, поэтому Р_∑ определяется с помощью численного интегрирования. Результаты определения добротности излучения, нормированной к отношению λ₀/d прямоугольной МПА даны на рис. 108.

Рис.109. К определению добротности МПА

Анализ показывает, что Q_∑ оказывается обратно пропорциональной объёму антенны, за исключением области малых значений ε_rи больших a/b_. Таким образом, для увеличения полосы согласования можно увеличивать либо высоту, либо ширину антенны.

Для расчета величины Q_∑ известны приближенные формулы, вывод которых основан на вычислении коэффициента отражения p волны в МПА от ее открытого конца (щели) [45]. При увеличении обнаруживается, что

,

откуда могут быть получены следующие расчетные формулы:

(4.51)

В случае квадратной пластины

, поэтому получаем

(4.52 а, б)

Подставляя (4.52 а) в (4.15) получим рабочую полосу частот по заданной величине КБВ:

. (4.53)

Расширить полосу квадратной МПА можно или увеличив высоту, или уменьшив диэлектрическую проницаемость, при этом для обеспечения резонанса длина стороны должна увеличиваться пропорционально в раз, т.е. величина Δf/fрез прямо пропорциональна объему антенны.

Распределение поля на пластине МПА

В основном, на практике толщина подложки лежит в пределах h«λ, в виду чего в резонаторе модели существуют нормальная к пластине составляющая напряженности электрического поля, обозначаемая E_z, и касательные к пластине x- и y- компоненты магнитного поля. Предположим, что зависимость гармонических полей от времени имеет вид exp(iωt), то связь между E_z и током J_z(x₀,y₀) в точке (x₀,y₀) выглядит так:

,

где – оператор Лапласа; ω – угловая частота, .

Граничное условие для E_z имеет вид на дальней магнитной стенке S_m, совпадающей с эффективными размерами пластины резонатора. Здесь n – единичный вектор внешней нормали.

Поле E_z выражается через ток J_z с помощью функции Грина G(x,y;x₀,z₀) в виде

,

где интегрирование распространяется на область задания тока J_z.. В общем случае функция Грина может быть представлена через собственные функции МПА

,

где a и b – размеры пластины по осям x и y; ψ_mn – собственная функция mn-й моды пластины антенны, которая удовлетворяет уравнению и граничному условию на S_m; k_mn – собственное значение mn-й моды.

Собственные функции ψ_mn известны в аналитическом виде только для ряда канонических форм пластин МПА, а в общем случае они определяются численными методами.

Приведем выражения функций Грина для МПА с наиболее используемыми формами пластин [46]:

- для прямоугольной пластины с началом координат в нижней левой вершине пластины и размерами пластины a,b антенны вдоль осей x и y

где

- для равносторонней треугольной пластины (с началом координат в середине одной из сторон а треугольника, осью х, направленной вдоль медианы, осью у – вдоль ребра треугольника)

где

- для кольцевой пластины с внутренним r и внешним R радиусами и началом полярной системы координат в центре кольца, в частном случае - круглой

где и – m-й корень трансцендентного уравнения

Функция J_n(x), N_n(x) означает соответственно функции Бесселя и Неймана n-го порядка, а – их произвольные по аргументу.

В частности, при r=0 (круглая пластина радиусом R) функция Грина имеет вид

где k_mn – m-й корень уравнения (при n=0 первый корень этого уравнения выбирают отличным от нуля).

Рассмотрим более подробно прямоугольную МПА. Пусть антенна возбуждается ориентированным перпендикулярно пластинам зондом (ток I_o) с малым поперечным сечения d_x,d_y, центрированным относительно точки x_oy_o. Тогда для z – компоненты напряженности электронного поля

(4.54)

где u=0,5 k_md_x, v=0,5 k_nd_y.

Равенства и для собственных значений соответствует идеальному случаю неизлучающей полости без потерь. Реально в излучающей МПА с потерями собственные значения ста­новятся комплексными, соответствующими комплексной резонансной частоте. Это обстоятельство учиты­вается в модели введением эффективного значения тангенса угла потерь δ_эфф, который учитывает в общем случае потери в диэлектрике подложки, в проводящем материале пластины, на излучение, а также потери энергии, связанной с поверхностными волнами. В этом случае волновое число к² = к₀ε(1–δ_эфф).

Входной импеданс

В точке возбуждения напряжение U_вх = –hЕ_z(х₀,у₀),поэтому входной импеданс

, (4.55)

где .

В этом выражении слагаемое с т = п =0 соответствует импедансу статической емкости с шунтирую­щим сопротивлением, представляющим потери в диэлектрике подложки. Слагаемое с т =1, п = 0 является основной высокочастотной модой колебаний, совпадающей с модельной модой длинной линии. При b ≈ а в МПА может возбуждаться также вырожденная мода т = 0, п = 1. Слагаемые с т ≥ 1, п ≥ 1 не вно­сят в импеданс Z_BX заметных потерь и в сумме эквивалентны импедансу некоторой индуктивности L.

Анализ выражения (4.55) показывает, что если ввести обозначения

то импеданс

(4.56)

а МПА может быть представлена простой экви­валентной схемой (рис.109).

Рис.109. Модель и эквивалентная схема модели прямоугольной МПА:

a- схема возбуждения и система координат;

б- эквивалентная схема антенны в полосе частот моды mn;

в- упрощенная схема для случая уединенного расположения

резонансной частоты моды mn

Типичная МПА является узкополосной, по­этому в рабочей полосе частот моды (М, N) функ­ция G_mn(ω) может быть аппроксимирована величиной G_mn(ω_MN). Сувеличением индексов мод (т, п) переменная 1/L_mn стремится к бесконечности, поэтому вклад бесконечного числа слагаемых в (4.54) формирует импеданс ин­дуктивности L. К величине L при возбуждении ан­тенны коаксиальным зондом следует добавить ин­дуктивность зонда, которая для круглого провод­ника диаметром d_з определяется равенством [47]

,

где f – частота.

Таким образом, эквивалентная схема модели прямоугольной МПА, возбуждаемой коаксиаль­ным зондом (рис. 109, а),имеет вид последователь­ного соединения параллельных RLC-цепей(рис. 109, б) в полосе частот в окрестности ω_тn, а в случае, когда частота ω_MN уединена от других резонансных частот – упрощенный вид, показанный на рис. 109,в. Здесь L₃ –индуктивность коаксиального зонда, L_BM –индуктивность выс­ших мод.

Представленная схема анализа Z_BX допускает обобщение на случай многовходового возбуждения антенны. Например, при возбуждении МПА двумя зондами в точках с координатами (x₁,y₁) и (х₂,у₂) Z-параметры входов Z₁₁ = U_BX.1/I₁, (при открытом входе 2 и токе I₁=1А) и Z₂₂ = U_BX.2/I₂ (при открытом входе 1и токе I₂ =1 А) определяют параметры для одного входа, а взаимный импеданс Z₁₂ = Z₂₁ = U_ВХ2/I₁ (при открытом входе 2и токе I₁ = 1 А) выражается по формуле

. (4.57)

Таким образом, приближенный метод расчета МПА, основанный на введении модели длинных линий и магнитной стенки имеет ряд недостатков: не учитывается влияние полей излучения и координаты возбудителя на структуру поля в резонаторе, на его резонансную частоту и входное сопротивление. Особенно это проявляется при наличии потерь в диэлектрике и увеличении высоты над экраном. Кроме того, этот метод не дает возможности анализа антенны нерезонансных размеров, когда МПА применяется на частотах, ниже чем f₀.

В связи с этим возникает необходимость использовать усовершенствованную модель МПА.

Модель МПА на основе длинных линий с дополнительным

генератором тока

Рассмотрим модифицированный вариант МПА на основе МДЛ, изображенный на рис.110 [48].

Рис. 110. Модель прямоугольной МПА:

а - схема излучающей апертуры; б- модифицированная МДЛ

В этой модели Y_s – собственная проводимость главных излучающих щелей, Y_m – их взаимная проводимость. В этой модели взаимная связь учтена включением генератора тока, зависящим от напряжения.

Матрица проводимости этой трехвходовой модели имеет вид

, (4.58)

где L₁ и L₂ определены на рис.110, cth(z) и csch(z) – комплексные гиперболические котангенс и косеканс аргумента z; Y_x – характеристическая проводимость микрополосковой линии, образованной пластинами МПА; γ=α+iβ – комплексная постоянная распространения линии.

Потери в проводнике пластины и диэлектрика подложки могут быть учтены выбором постоянной затухания α.

При I₁=I₂=0 (случай возбуждения коаксиальным зондом) из (4.58) получаем входную проводимость

где – расстояние от края до точки возбуждения; ch(z) – гиперболический косинус.

Параметры линий Y_X, γ и проводимости Y_S, Y_m в данной МДЛ являются неизвестными. Параметры Y_X, γ определяют на основе модели плоского волновода:

где - импеданс свободного пространства; w_эфф, ε_эфф, tg δ_e – эффективные ширина пластины МПА, диэлектрическая постоянная и тангенс потерь, учитывающие наличие в МПА полей рассеяния за пределами физических размеров пластины антенны.

Значение w_эфф, ε_эфф, tg δ можно определить по формуле

Собственная проводимость Y_S=G_S+iB_S определяется следующим образом

где – интегральный синус, Δl – увеличение размеров пластины (рис. 110), обусловленное влиянием открытого ее края

(4.59)

Следует отметить, что при вычислении G_S не учитывалось влияние поверхностных волн, что допустимо при , т.е. при толщине подложки

Значение взаимной проводимости Y_m=G_m+iB_m могут быть определены по формулам

где l=k₀ L_e – нормированное расстояние между щелями; J_n(l) и Y_n(l) – функции Бесселя n-го порядка первого и второго рода;

		0 0,8 1,6 2,4 lэфф

Рис. 111. Максимальная ошибка взаимной проводимости при аппроксимации K_g=l

Поправочные функции и учитывают конечные размеры излучающих щелей и влияние боковых, неизлучающих щелей. Ошибка, обусловленная заменой K_g на 1, зависимости от l представлена на рис. 111 для значений параметров и .

Вклад поверхностных волн в характеристики излучения МПА

Конструктивной основой МПА является слоистый диэлек­трик. Как уже отмечалось, при электромагнитном возбуждении диэлектрической структуры появляются не только пространст­венные волны, которые определяют антенные характеристики излучателя, но и поверхностные волны, которые отбирают на себя часть мощности источника, снижая КПД излучателя. Кроме того, пове