Экстремум ф-ции и его необходимое условие. Достаточные признаки экст

Т. х₀ наз. т.миним. ф-и f(х),если можно найти такую проколот.окрестн. этой т.,что для люб.т.х из этой окрестн.выполн.услов. f(x)>f(х₀).

Т. х₀ наз. т.макс.,если можно найти такую прокол. окрестн. этой т.,что для люб.т. х из этой окрестн.f(x)<f(х₀).Т.мин и макс- т.экстрем.

Необход.услов.экстрем.:Если в т.экстрем. ф-я f(x) имеет производ., то эта произв=0.Эта т. наз.стационарной .т. области определения ф-и в кот.произв=0 либо не сущ. наз. критическими.

Достаточн.услов.:1.Пусть ф-я непрерыв. в нек.интервале,сод. критичес. т. х= и дифференцируема во всех т. этого интервала,кроме т. .Если f’(x)<0 при х<х₀ и f’(x)>0 при х> х₀,то х₀‑минимум.

Если f’(x)>0 при х< х₀ и f’(x)<0 при х> х₀,то максимум.

Т.к. f’(x)<0 при х< х₀ и f(x)непрерывна в т. х₀,то f(x)убывает при x< х₀ и выполн.услов. f(x)>f(х₀).

Т.к. f’(x)>0 при x> х₀ и f(x)непрерыв. в т. х₀, то f(x) возраст. при x> х₀ и f(x)>f(х₀).

2.Пусть ф-я у=f(x) дважды дифференц. и f’(х₀)=0,тогда в т. х= х₀ ф-я имеет локальный максим. Если f’’(x)<0 и лок. мин. если f’’(х₀)>0.

Если f’’(х₀)=0,то х= х₀ может и не быть экстремумом.

43. Вып-ть и вогн-ть кривой. Точки перегиба. Пусть ф-я f(x) имеет f’(x) в каждой точке промеж-ка (а;b), если на интерв. (а;b) график ф-и f(x) распол-н выше любой своей касат-й, провед-й в т.

выпук-я

a

b

этого промежутка, то ф-я наз-ся вогнутой (выпук-й вниз)на этом промеж-ке.

Если на промеж-ке (а;b) ф-я f(x) ниже своей касат-й, то ф-я – выпук-ая (вверх).

Т. х₀ наз-ся т. перегиба ф-и f(x), если в этой точке ф-я имеет произв-ную и сущ-т 2 промеж-ка (а;х₀) и (х₀;b), на одном из кот. ф-я вып-ла, на др.-вогнута.

Теорема (достат. усл-е вып-ти): если во всех точках интервала (а;b) f’’(x) отриц-на (полож.), то кривая у=f(x) в этом интер-ле выпукла (вогн-та).

Теорема (дост. усл. перегиба): если в т.х₀ f’’(x₀)=0 или f’(x₀) не сущ-т и при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак, то т.х₀ – т. перегиба.

44. Асимптоты графика ф-и. Прямая l наз-ся асимптотой кривой у=f(x), если расст-е от т.М кривой до прямой l при удалении т.М в ∞ стрем-ся к нулю, если сущ-т числа х=х_i (i=1;n), при кот. , т.е. ф–я имеет бесконеч. разрвы, то прямые х=х_i наз-ся вертик. асимптотами кривой у=f(x).

М

y=e-x

М

εε

Если сущ-т , , то прямые y=kx+b наз-ся наклонными (при –k=0 – горизонт.) асимптотами кривой у=f(x).

D

М(x,y,z)

45. Ф-и неск. переменных. Частные произв-е и полный дифф-л.Пусть каждой упорядоч. паре чисел (х, у) из некот. обл-ти (D) соотв-т определ. число Z , тогда Z наз-ся ф-ей 2х переменных х,у, х и у – независ. перем-е (аргументы), D – обл-ть опред-ия ф-и, множество Е всех значений ф-и – обл-ть ее значений. Z=f(x,y). Т. к. всякое ур-ние Z=f(x,y) опред-т вообще говоря в пространстве, в кот. введена декарт. сист-а координат по x,y,z некот. пов-ть, то под графиком ф-и 2х перем-х подним-ся пов-ть, образ-ная множеством точек М(x,y,z) простран., координаты кот. удовл-т ур-нию Z=f(x,y).

Величина у наз-ся ф-ей переменной х₁,х₂,…,х_п , если каждой сов-ти (х₁,х₂,…,х_п) из некот. обл-ти n-мерного простр-ва соотв-т опред. значение у: у=f(x_1,x₂,…,x_n). Т.к. в n-мерном простр-ве сов-ть значений независ. перем-х x_1,x₂,…,x_n опред-т точку n-мерного простр-ва М(x_1,x₂,…,x_n), то такую ф-ю неск. перем-х можно рассм-ть как ф-ю точек М простр-ва соотв-ей размерности: у=f(М). Число А наз-ся пределом ф-и Z=f(x,y) в т. М₀(x₀,y₀), если для любого ε›0 сущ-т ∆›0 такое, что при всех х,у, удовлет. ур-ю Іх-х₀І‹δ, Іу-у₀І‹δ, справедлино нерав-во Іf(x,y)-АІ‹ε. .

Ф-я непрер-на в т. М₀(x₀,y₀),если справедливо равен-во .

Если переменной х дать некот. приращение ∆х, а у остовить без изм-й, то Z=f(x,y) получит приращение ∆_хZ – частное приращение Z по переменной х, равное f(x+∆x,y)-f(x,y). Аналогично частное приращ-е Z по перем-й у опред-ся ∆_уZ =f(x,у+∆y)-f(x,y).Если сущ-т пределы , то эти пределы наз-ся частными произв-ми ф-и Z=f(x,y) по переменным х и у соотв-но. Т. к. частное произв-ое по любой перем-ой явл-ся произв-ой по этой перем-й при усл-и, что остальные перем-е постоянны, то все правила и фор-лы дифф. ф-и одной перем-ой применимы для нахожд-я частной произв-ой ф-и числа переменной. Диф-ал ф-и Z=f(x,y), найден-й при усл., что одна из независ. перем-х изм-ся, а другая остается постоянной, наз-ся частным диф-ом:

d_xZ=f’_x(x,y)dx dx=∆x; d_yZ=f’_y(x,y)dy dy=∆y.Полное приращение ф-и Z=f(x,y): ∆Z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Главная часть полного приращ. ф-и Z=f(x,y) линейнозавис-щая от приращ-ия независ. перем-х ∆х,∆у, наз-ся полным диф-лом ф-и и обознач-ся dZ. Если ф-я имеет непрер. частные произв-ые, то полный диф-л сущ-т и равен: , где dx=∆x, dy=∆y– произвольн. приращения незаис-х переменных.