Аналитический анализ кривых

Таблица 2.
№ варианта	Исходные данные	Ответ
Q	Xmax1	Xmax2	Точка перегиба
	Q = -79X^3 + 945X^2+1011X+850	-0,503	8,478	3,987
	Q = -80X^3 + 955X^2+957X+822	-0,537	8,431	3,979
	Q = -79X^3 + 946X^2+989X+872	-0,562	8,475	3,992
	Q = -82X^3 + 981X^2+972X+840	-0,531	8,444	3,988
	Q = -79X^3 + 917X^2+1006X+805	-0,594	8,253	3,869
	Q = -81X^3 + 944X^2+900X+847	-0,510	8,220	3,885
	Q = -81X^3 + 940X^2+1006X+853	-0,578	8,239	3,868
	Q = -82X^3 + 913X^2+1014X+809	-0,605	7,942	3,711
	Q = -79X^3 + 992X^2+987X+856	-0,531	8,842	4,186
	Q = -75X^3 + 949X^2+1018X+813	-0,576	8,942	4,218

Рассмотрим кривую общего выпуска продукции описываемой кубическим уравнением:

Q=a+bX+cX2+dX3=

=850+1011X+945X2-79X3(вариант 1).

Аналитическое уравнение предельного продукта MPХбудет иметь вид:

MPХ=dQ/dX= b+2cX+3dX2=

=1011+1890X-237X2

Для того чтобы определить, сколько максимально необходимо внести удобрений, чтобы достигнуть максимального уровня урожая картофеля, достаточно приравнять уравнение MPХ=0 и решить его относительно Х:

MPХ=dQ/dX= b+2cX+3dX2=

=1011+1890X-237X2=0

Решим полученное уравнение относительно Х с помощью общей формулы для корней квадратного уравнения:

т.е. А=3d, В=2си С=b. При MPХ=0 (т.е. при таком значении вводимого фактора Х, когда уровень выпуска продукции максимален), на рис. 1. это наглядно видно – график функции MPХпересекает ось абсцисс.

-0,503 или 8,478 (см. колонка 2, 3)

Поскольку отрицательное значение вводимого фактора производства физически невозможно, единственно возможный ответ таков: для достижения максимального уровня выпуска картофеля уровень вводимого фактора производства X должен быть равен 8,478 мешков удобрений.

Обратите внимание на рис. 1. при MPХ=0, Х=9, т.е. и графический и табличный методы грешат неточностью в отличие от аналитического метода.

Аналитическое уравнение первой производной предельного продукта MPХбудет иметь вид:

MPХ'=dMPХ/dX= 2c+6dX= 1890-474X

Для того, чтобы определить значение, при котором MPХ=max, достаточно приравнять MPХ'=0:

MPХ'=dMPХ/dX=2c+6dX= 1890-474X=0

X=1890/474=3.987(см. колонка 4)

Обратите внимание на рис. 1. при MPХ=max, Х=4.

Мы сделали табличный, графический и аналитический анализ производственной функции. И теперь можем перейти к заданию.

Задание1.

В приведенной таблице 2. выберете свой вариант. Постройте таблицу 1., графики кривых, как показано на рис. 1., проведите вычисления со своими данными и полученные результаты сравните с ответами. Сделайте анализ производственной функции.

Ответьте на вопросы:

1. Какие выводы можно сделать на основании анализа этих кривых?

2. В чем заключаются важнейшие свойства производственной функции?

Кубическая производственная функция хорошо отражает как увеличивающуюся, так и уменьшающуюся предельную производительность, имеющую место, при единственном переменном вводимом факторе производства.

Если специфический вводимый фактор производства отсутствует, то никакой продукции выработано быть не может и, следовательно, постоянный параметр а будет равен нулю. В таком случае кубическая производственная функция обнаруживает следующие свойства.

Средний выпуск продукции. При отсутствии в кубической функции параметра а средний выпуск продукции APХдля кубической производственной функции может быть выражен в следующем виде:

(6)

т.е. представляет собой квадратичную функцию. Стадия 2 начинается в точке пересечения кривых APХи MPХ, где величина среднего выпуска продукции APХмаксимальна и равна величине предельного продукта MPХ.

Предельный продукт также представляет собой квадратичную функцию:

(7)

Поскольку параметр d в кубической производственной функции всегда отрицателен, предельный продукт MPХвначале увеличивается, а затем уменьшается.

Эластичность.В отсутствие параметра а эластичность производства может быть выражена в виде:

(8)

Поскольку указанное отношение изменяется по величине при изменении величины X, эластичность различна в любой точке кривой общего выпуска продукции.