Алгоритм вычисления пределов функций

1) Подставить точку в функцию, стоящую под знаком предела, и выяснить тип неопределённости.

2) Если в результате подстановки получилось конечное число или , то задача решена.

3) Если получилась неопределённость вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное двух полиномов или иррациональных функций, то в числителе и знаменателе этого выражения нужно вынести в старшей степени. Если старшие степени числителя и знаменателя равны, то значение предела равно отношению коэффициентов при старших степенях в числителе и знаменателе (см. пример 1). Если степень числителя больше степени знаменателя, то значение предела равно бесконечности. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то значение предела равно нулю.

4) Если получилась неопределённость вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное трансцендентных функций, то это выражение следует преобразовать таким образом, чтобы получилось одно из выражений, представленных в таблице некоторых значений переделов функций.

5) Если получилась неопределённость вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой частное двух полиномов, то числитель и знаменатель выражения следует разложить на множители, общие множители сократить, а затем вычислить предел, используя свойства пределов (см. пример 2).

6) Если получилась неопределённость вида при , а выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой отношение трансцендентных функций, то это выражение следует преобразовать таким образом, чтобы получилось произведение или частное замечательных пределов или следствий из них, а затем вычислить предел, используя свойства пределов (см. пример 3).

7) Если получилась неопределённость вида при , то выражение, стоящее под знаком предела, следует преобразовать таким образом, чтобы получился второй замечательный предел, а затем вычислить предел от степени числа , используя свойства пределов (см. пример 4).

Пример 1.Вычислить предел функции .

Решение. .

Пример 2.Вычислить предел функции .

Решение. .

Пример 3.Вычислить предел функции .

Решение.

.

Пример 4.Вычислить предел функции .

Решение.

Свойства функций

Определение 1.Функция называется чётной, если вместе со всяким и выполняется равенство .

Определение 2.Функция называется нечётной, если вместе со всяким и выполняется неравенство .

Определение 3.Функция называется периодической, если существует Т>0, что вместе со всяким и .

Определение 4.Функция называется монотонно возрастающей(строго монотонно возрастающей)на числовом множестве , если для любых из неравенства следует неравенство ( ).

Определение 5.Функция называется монотонно убывающей(строго монотонно убывающей)на числовом множестве , если для любых из неравенства следует неравенство ( ).

Возрастающие и убывающие функции объединены общим названием монотонные функции.

Определение 6.Пусть функция задана на множестве с областью значений . Если каждому соответствует единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определённая на множестве с областью значений называется обратной функциейк функции .